Hoofdmenu openen

In de multivariabele analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een partiële afgeleide van een functie van een aantal variabelen, de afgeleide waarbij slechts een van de variabelen daadwerkelijk als variabele behandeld wordt en de anderen als constanten (dit in tegenstelling tot de totale afgeleide, waar alle variabelen mogen variëren). Partiële afgeleiden worden gebruikt in de differentiaalmeetkunde en de vectoranalyse.

Neemt men bijvoorbeeld van de functie

de partiële afgeleide naar dan wordt de variabele als constante behandeld (de constante blijft natuurlijk constant). Hieruit volgt:

De partiële afgeleide van een functie met betrekking tot de variabele wordt op verschillende manieren aangeduid. Om het onderscheid te maken met de gewone afgeleide gebruikt men het ronde partiële-afgeleidesymbool in plaats van men noteert:

Het partiële-afgeleidesymbool werd geïntroduceerd door Adrien-Marie Legendre, raakte vervolgens op de achtergrond, maar won na de herintroductie van dit symbool door Carl Jacobi[1] algemene aanvaarding.

IntroductieBewerken

 
Een grafiek van   Voor de partiële afgeleide op punt   die   constant laat, loopt de corresponderende raaklijn parallel aan het  -vlak.
 
Een segment van de grafiek boven punt  

Stel dat   een functie is van twee variabelen. Bijvoorbeeld,

 

De grafiek van deze functie definieert een oppervlak in de euclidische ruimte. Voor elk punt op dit oppervlak zijn er een oneindig aantal raaklijnen. Partiële differentiatie is de handeling om een van deze raaklijnen te kiezen en de helling daarvan vinden. Meestal zijn de interessantste lijnen de lijnen die parallel aan het  -vlak en het  -vlak lopen.

Om de helling van de raaklijn aan de functie op   te vinden, die parallel loopt aan het  -vlak, wordt de variabele   als een constante behandeld. De grafiek en dit vlak worden op de afbeelding aan de rechterkant getoond. Op de afbeelding daaronder ziet men hoe de functie eruitziet in het vlak   Door de afgeleide van de vergelijking te vinden, onder de veronderstelling dat   constant is, vindt men dat de helling van   in het punt   gelijk is aan:

 

Door substitutie in punt   vindt men dat de helling in dit punt gelijk is aan 3.

 

Dat wil zeggen dat de partiële afgeleide van   met betrekking tot   in het punt   gelijk is aan 3.

Formele definitieBewerken

De precieze definitie van een partiële afgeleide van de functie   naar de variabele   is als volgt:

Als   een functie is van de variabelen   dan geldt:

 

Hierin staat lim voor de limiet.

De richtingsafgeleide generaliseert dit begrip naar een willekeurige, maar vaste richting.

Hogere partiële afgeleideBewerken

De partiële afgeleiden,   en   van de functie   zijn vaak zelf functies van   en   We zouden deze functies nogmaals partieel kunnen differentiëren naar   en/of   Hierdoor ontstaan 4 partiële afgeleiden van de 2de orde:

 
 
 
 

Volgens de stelling van Schwarz zijn de laatste twee termen gelijk aan elkaar indien  ,   en   bestaan en continu zijn. In dat geval geldt dus

 

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1Bewerken

Zij   gegeven door  . Dan geldt:

 

In feite beschouwen wordt hier de variabele   als constante beschouwd en gedifferentieerd naar de variabele   Op dezelfde wijze volgt:

 

In het tweede geval wordt   beschouwd als een constante.

Voorbeeld 2Bewerken

We onderzoeken de volgende functie:

 
 

We beschouwen hier   als een constante

 

We beschouwen hier   als een constante

Voorbeeld 3Bewerken

In voorbeeld 1 is berekend dat

 

Voor de tweede partiële afgeleide   geldt:

 

dus

 

VoetnotenBewerken