Absolute convergentie

Absolute convergentie is een eigenschap van een reeks van getallen waarvan de som van de absolute waarden van de te sommeren getallen eindig is. De term wordt ook wel gebruikt voor een integraal als de integraal van de absolute waarde van de integrand eindig is.

DefinitieBewerken

Een reëel- of complexwaardige reeks   heet absoluut convergent als:

 

De definitie wordt uitgebreid tot genormeerde ruimten. Een reeks   van elementen in een genormeerde ruimte met norm   heet absoluut convergent, als:

 

EigenschappenBewerken

Een absoluut convergente reeks is convergent. Het permuteren van de termen verandert de convergentie en limiet niet.

AlternatiefBewerken

Als een reeks niet absoluut convergent is, is de som van de absolute waarden oneindig. Een convergente reeks die niet absoluut convergent is heet een voorwaardelijk convergente reeks. Voor iedere waarde, inclusief oneindig en min oneindig, is er een permutatie van de termen van de reeks waarbij de som van de zo gevormde nieuwe reeks gelijk is aan die waarde.

BelangBewerken

Absolute convergentie is van essentieel belang voor de studie van oneindige reeksen, omdat de eigenschap enerzijds sterk genoeg is om te garanderen dat zulke reeksen bepaalde fundamentele eigenschappen van eindige sommen behouden, waarvan de belangrijkste de omlegging van de termen en de convergentie van het product van twee oneindige reeksen zijn, en anderzijds zwak genoeg om in de praktijk vaak voor te komen.