Restklasse

In de rekenkunde verstaat men onder de restklasse modulo een positief geheel getal , de verzameling gehele getallen die bij deling door dezelfde rest opleveren. Deze rest wordt niet-negatief gekozen. De getallen in een bepaalde restklasse zijn dus per definitie congruent modulo .

In veel gevallen is een vast gekozen getal, en noteert men de restklasse waartoe het gehele getal behoort met een streepje boven de :

Er zijn precies verschillende restklassen modulo .

In het algemeen behoren twee gehele getallen tot dezelfde restklasse modulo als en slechts als hun verschil een veelvoud is van (als ze congruent zijn modulo ).

VoorbeeldBewerken

Zij  . Er bestaan vijf verschillende restklassen modulo 5. Het gaat om de volgende vijf oneindige verzamelingen:

 
 
 
 
 

De klasse

 

is geen nieuwe klasse, het is gewoon een andere schrijfwijze van de klasse  .

VerzamelingenleerBewerken

De restklassen modulo   zijn de partitieklassen die horen bij de equivalentierelatie "is congruent met".

Elke geheel getal   behoort tot precies één restklasse modulo  , namelijk, de klasse waar de rest van de geheeltallige deling van   door   toe behoort.

GroepentheorieBewerken

De restklasse modulo   waar het getal   toe behoort, is de nevenklasse van   ten opzichte van de deelgroep

 

van de groep   der gehele getallen. Omdat de optelling van gehele getallen een abelse groep vormt, hoeven we geen onderscheid te maken tussen linker- en rechternevenklassen.

De factorgroep   definieert een commutatieve groepsbewerking op de verzameling der restklassen modulo  . Dit is de eindige cyclische groep met   elementen.

RingtheorieBewerken

Voor de optelling geldt dat, als   en   congruent zijn modulo  , en ook   en   congruent zijn modulo  , dat dan ook   en   congruent zijn modulo  . Hetzelfde geldt voor de vermenigvuldiging:   en   zijn congruent modulo  .

De deelring   van de commutatieve ring   is een ideaal, zodat we de factorring of quotiëntring   kunnen beschouwen.

De verzameling der restklassen modulo   vormt dus een commutatieve ring met eenheidselement.

In deze ring zijn niet noodzakelijk alle niet-triviale elementen omkeerbaar, met andere woorden: hij is niet altijd een lichaam. Dit is slechts het geval als   een priemgetal is (het bijzondere geval   wordt gewoonlijk buiten beschouwing gelaten). In alle andere gevallen is de ring zelfs niet nuldelervrij: als   geschreven kan worden als het product van twee natuurlijke getallen   en   (strikt begrepen tussen 1 en  ), dan is

 

De omkeerbare elementen van   vormen een abelse groep voor de vermenigvuldiging van restklassen, genoteerd  

Het aantal elementen van deze vermenigvuldigingsgroep is de Euler-indicator (totiënt) van  , d.i. het aantal natuurlijke getallen tussen 0 en   dat geen delers gemeenschappelijk heeft met  .

In deze context komt de stelling van Euler neer op de opmerking dat elk element in deze eindige groep een eindige orde heeft. Men bekomt het neutraal element door een willekeurig gegeven element net zo vaak met zichzelf te vermenigvuldigen als er elementen in de hele groep zijn.