Laurentreeks

De laurentreeks van een complexe functie is in de wiskunde een voorstelling van als een machtreeks met eventueel ook termen met een negatieve macht. Een laurentreeks kan soms toegepast worden als een taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde.

Een laurentreeks is gedefinieerd ten opzichte van een punt en een integratieweg die in een ring (hier rood) moet liggen, waarbinnen de functie analytisch is

DefinitieBewerken

De laurentreeks van een complexe functie   in het punt   is de machtreeks

 

waarin de coëfficiënten   gegeven worden door de kringintegraal

 

over een gesloten contour   tegen de klok in. De contour   moet een rectificeerbaar pad zijn dat zichzelf niet snijdt, het punt   in zijn inwendige bevatten, en in een ringvormig gebied liggen waarbinnen   analytisch is. De ontwikkeling van   geldt overal binnen de genoemde ring.

In de praktijk blijken de integralen vaak moeilijk te berekenen, en maakt men gebruik van bekende taylorontwikkelingen om de laurentreeks samen te stellen.

VoorbeeldBewerken

Om in het punt   de laurentreeks van de functie

 

te bepalen, moeten de integralen

 

over een contour   om   berekend worden. Direct is te zien dat:

 

en

 ,

die weer als meetkundige reeks geschreven kan worden:

 

Daarmee wordt, na vermenigvuldiging met 1/(z - i), de laurentreeks

 

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken