Hoofdmenu openen
Taylorreeksontwikkeling van (resp. 1, 2, 3, en 10 termen)

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een taylorreeks of taylorontwikkeling de voorstelling of benadering van een functie als een machtreeks waarvan de coëfficiënten worden berekend uit de waarden van de afgeleiden van deze functie in een bepaald punt.

Het concept van een taylorreeks werd door de Schotse wiskundige James Gregory ontdekt en in 1715 formeel geïntroduceerd door de Engelse wiskundige Brook Taylor. Wanneer de taylorreeks is gecentreerd rondom nul, noemt men deze reeks ook wel een maclaurin-reeks, dit naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin, die in de 18e eeuw op grote schaal gebruik maakte van taylorreeksen.

Het is gebruikelijk een functie te benaderen door een eindig aantal termen van haar taylorreeks te gebruiken. De stelling van Taylor geeft kwantitatieve schattingen van de fout in deze benadering. Elk eindig aantal van initiële termen van de taylorreeks van een functie wordt een taylorpolynoom genoemd. De taylorreeks van een functie is de limiet van de taylorpolynomen van die functie, als deze limiet tenminste bestaat. Een functie hoeft niet gelijk te zijn aan haar taylorreeks, zelfs als de taylorreeks van deze functie op ieder punt convergeert. Een functie die in een open interval (of een schijf in het complexe vlak) gelijk is aan zijn eigen taylorreeks, staat bekend als een analytische functie.

Inhoud

DefinitieBewerken

De taylorreeks van een reëel- of complexwaardige functie   die oneindig vaak differentieerbaar is in een reëel- of complex getal  , is de machtreeks

 

waarin   de faculteit van   aangeeft en   staat voor de  -de afgeleide van   in het punt  . De afgeleide van orde nul wordt gedefinieerd als de functie zelf. In het geval dat   spreekt men ook wel van de maclaurinreeks.

Analytische functieBewerken

Als een functie in een omgeving van het ontwikkelingspunt   gelijk is aan de reekssom van haar taylorreeks, wordt ze analytisch in   genoemd. Een functie die analytisch is in alle punten van haar domein, heet kortweg analytisch. Voorbeelden van zulke functies zijn de goniometrische functies sinus en cosinus en de exponentiële functie.

Van een analytische functie kunnen alle waarden in een samenhangende omgeving van een punt bepaald worden uit de functiewaarde en de waarde van alle afgeleiden in dat ene punt. Dat wil nog niet zeggen dat de taylorreeks convergeert in alle waarden   uit die omgeving, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld.

 

De functie   is analytisch in haar hele domein. Haar taylorreeks in het punt  

 

convergeert evenwel slechts voor   strikt tussen −1 en +1.

Complexe functieBewerken

Ook voor complexe functies bestaat het begrip taylorreeks. Een complexe functie waarvan de eerste afgeleide bestaat, heet een analytische functie. Differentieerbaarheid voor complexe functies is een dusdanig sterke eis, dat van een analytische functie ook alle hogere afgeleiden bestaan. De taylorreeks van een voor complexe   met   differentieerbare functie   is:

  voor  

OntwikkelingenBewerken

BinomiaalontwikkelingBewerken

 

Reeksontwikkeling van exponentiële en logaritmische functiesBewerken

 
  met  
 

Reeksontwikkeling van goniometrische functiesBewerken

 
 
 
 
 
 
  voor  

De reële functie   heeft niet als dusdanig een reeksontwikkeling in  , omdat ze daar een discontinuïteit heeft (linkerlimiet en rechterlimiet verschillen één gestrekte hoek). Door functiewaarden te beschouwen op een geheel veelvoud van   na, kan toch een soort reeksontwikkeling geschreven worden:

  voor  

Reeksontwikkeling van hyperbolische functiesBewerken

 

Zie ookBewerken