Commutativiteit
Commutativiteit is een begrip in de wiskunde en heeft betrekking op de symmetrie tussen twee operanden van een binaire operatie.
Men zegt men dat twee elementen en , die beide van dezelfde verzameling element zijn, commutatief met elkaar zijn of commuteren onder de operatie als . De binaire operatie is in commutatief als ieder paar elementen met elkaar commutatief is.
Voorbeelden Bewerken
- Bij het teruggeven van wisselgeld aan de kassa wordt er gebruik van gemaakt dat optellen commutatief is. Het maakt geen verschil in welke volgorde de munten worden teruggegeven, samen vormen ze het bedrag dat te veel is betaald.
- Optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen is commutatief:
- , voorbeeld: 5 + 2 = 7 = 2 + 5
- , voorbeeld: 5 × 6 = 30 = 6 × 5
- optellen en vermenigvuldigen van reële en complexe getallen, optellen van vectoren en het inwendige product
- De centralisator van een element van een groep is de ondergroep van met alle elementen van die met commutatief zijn. Commutatief en abels zijn in de groepentheorie synoniem.
- De commutatorgroep van een groep is de kleinst mogelijke normaaldeler van die groep waarvoor de factorgroep nog commutatief is.
- Een commutatief diagram in de categorietheorie is een diagram zodat elke twee samenstellingen van morfismen in het diagram die hetzelfde domein en doel hebben, gelijk zijn.
Tegenvoorbeelden Bewerken
Voorbeelden van operaties die niet commutatief zijn:
- aftrekken: 5 – 2 = 3 is niet hetzelfde als 2 – 5 = -3
- delen: 6/3 = 2 is niet hetzelfde als 3/6 = ½
- machtsverheffen: 23 = 8 niet hetzelfde als 32 = 9
- matrixvermenigvuldiging
Verschillen Bewerken
- Een binaire functie waarvoor voor alle elementen geldt dat is een symmetrische functie, symmetrisch of commutatief in de twee variabelen en .
Ringen en lichamen Bewerken
Commutativiteit is een eigenschap, die in de definitie van ringen en lichamen (Ned) / velden (Be) na associativiteit en distributiviteit volgt. Iedere ring is gedefinieerd voor twee bewerkingen, waarvoor geldt dat zij associatief en distributief zijn en dat de eerste bewerking ook commutatief is. In ieder lichaam/veld zijn beide bewerkingen commutatief.