Genererende verzameling

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep, G, een deelverzameling S ⊂ G, zodat elk element van G kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van S en hun inversen. Als G = ⟨S⟩, dan zeggen wij dat G door S wordt gegenereerd. De elementen van S worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd.

Andersom, als S een deelverzameling is van een groep G, dan is ⟨S⟩, de ondergroep gegenereerd, voortgebracht, door S, de kleinste ondergroep van G die elk element van S bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van S bevatten. Dat komt ermee overeen dat ⟨S⟩ is de ondergroep van alle elementen van G die als het eindige product van de elementen van S en hun inversen kunnen worden uitgedrukt.

Als er slechts één enkel element x deel uitmaakt van S, wordt ⟨S⟩ meestal geschreven als ⟨x⟩. In dat geval is ⟨x⟩ de cyclische ondergroep van de machten van x, een cyclische groep. ⟨x⟩ wordt dus door x gegenereerd en x heet de voortbrenger van de groep. De orde van een element x is gedefinieerd als de orde van ⟨x⟩, het aantal elementen.

Als S de lege verzameling is, dan is ⟨S⟩ de triviale groep e, dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit.

Websites

• (en) MathWorld. Group Generators