Genererende verzameling

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep $G$ een deelverzameling $S\subseteq G$, zodat elk element van $G$ kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van $S$ en hun inversen. Als $G$ door $S$ wordt gegenereerd, schrijft men $G=\langle S\rangle$. De elementen van $S$ worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd.

Andersom, als $S$ een deelverzameling is van een groep $G$, dan is $\langle S\rangle$, de ondergroep gegenereerd, voortgebracht, door $S$, de kleinste ondergroep van $G$ die elk element van $S$ bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van $S$ bevatten. Dat komt ermee overeen dat $\langle S\rangle$ de ondergroep is van alle elementen van $G$ die als het eindige product van de elementen van $S$ en hun inversen kunnen worden uitgedrukt.

Als er slechts één enkel element $x$ deel uitmaakt van $S$, wordt $\langle S\rangle$ meestal geschreven als $\langle x\rangle$. In dat geval is $\langle x\rangle$ de cyclische ondergroep van de machten van $x$, een cyclische groep. $\langle x\rangle$ wordt dus door $x$ gegenereerd en $x$ heet de voortbrenger van de groep. De orde van een element $x$ is gedefinieerd als de orde van $\langle x\rangle$, het aantal elementen.

Als $S$ de lege verzameling is, dan is $\langle S\rangle$ de triviale groep $e$, dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit.

Websites

• (en) MathWorld. Group Generators