Primitieve functie

In de integraalrekening is een primitieve functie van een gegeven functie elke functie, vaak aangeduid met , waarvan de afgeleide gelijk is . Een primitieve functie van is op een daarbij op te tellen vast getal (een additieve constante) na bepaald; de afgeleide van een vast getal is immers nul. Andere namen voor primitieve functie zijn stamfunctie of kortweg primitieve. Voor de eenvoud wordt op de middelbare school de primitieve functie ook omgekeerde afgeleide genoemd.

DefinitieBewerken

Een functie   wordt een primitieve functie van de functie   genoemd, als   differentieerbaar is en de afgeleide van   gelijk is aan  .

ContextBewerken

De bovenstaande definitie kan in verschillende contexten toegepast worden, al naargelang van wat men onder een differentieerbare functie verstaat. Meestal gaat het om een reëelwaardige functie die op een gegeven interval continu reëel differentieerbaar is. In de complexe analyse zal men de (strengere) eis van complexe differentieerbaarheid (holomorfie) opleggen. In de theorie van de lebesgue-integraal zijn   en   klassen van onderling equivalente functies (functies die slechts op een nulverzameling verschillen), en dan is   bijna overal reëel differentieerbaar, en is de afgeleide bijna overal gelijk aan  .

Als   een primitieve is van   en   is een constante, dan is   eveneens een primitieve van  . Men zegt wel dat een primitieve "op een constante na bepaald is".

VoorbeeldenBewerken

In de onderstaande voorbeelden is   de onafhankelijke veranderlijke van een reële of complexe functie.

  • De functies   en   zijn beide primitieven van de constante functie  .
  • De functie   is een primitieve van de functie  
  • De functie   is een primitieve van  
  • Noteer   voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle positieve   en de waarde 0 elders. Noteer   voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle negatieve   en de waarde 0 elders. Dan is voor elke twee reële constanten   en   de functie   een primitieve van  . Merk op dat het domein van deze functie en haar primitieven de waarde   uitsluit. Doordat het domein niet samenhangend is, zijn twee onafhankelijke constanten mogelijk.

Hoofdstelling van de integraalrekeningBewerken

  Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Zij   een primitieve van   en laat het gesloten interval   tot het inwendige van het domein van   behoren. Dan geldt

 

met andere woorden, afgeleide en integraal zijn omgekeerde bewerkingen. Ook volgt hieruit dat een bepaalde integraal kan worden berekend met behulp van een onbepaalde integraal ofwel de primitieve. Omgekeerd is de bepaalde integraal als functie van de bovengrens b een primitieve van de geïntegreerde functie.

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt ook in de lebesgue-integratietheorie, op voorwaarde dat het gelijkteken als bijna overal gelijk geïnterpreteerd wordt.

Integreren, het bepalen van de primitieveBewerken

Strikt genomen omvat integreren meer dan alleen het vinden van de primitieve van een functie, maar vaak wordt met 'integreren' alleen het bepalen van de primitieve aangeduid. Het vinden van de primitieve functie is een belangrijk onderwerp binnen de integraalrekening. In feite zijn alle berekeningen nodig om een integraal uit te rekenen, een onderdeel van het integreren.

Het minst gecompliceerd bij integreren is het bepalen van de primitieve van eenvoudige functies, zoals gegeven in een lijst van integralen. Voor het integreren van samengestelde functies bestaan verschillende technieken. De meestgebruikte technieken zijn integreren door substitutie, breuksplitsen en partieel integreren.

Sommige primitieve functies kunnen niet in elementaire functies worden uitgedrukt, zoals:

  •  
  • de sinusintegraal:  
  •