Secans en cosecans

De secans, Latijn voor 'de snijdende', en cosecans zijn twee verwante goniometrische functies. Ze worden aangeduid met sec en csc, of soms met cosec.

 b

Secans

Van een scherpe hoek $b$ in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

$\sec(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{aanliggende zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|OC\|}}=\|OT\|$

De secans van een scherpe hoek $b$ in een rechthoekige driehoek is dus de omgekeerde van de cosinus van deze hoek:

$\sec(b)={\frac {1}{\cos(b)}}$

De volgende vergelijking kan uit de eenheidscirkel en de stelling van Pythagoras worden afgeleid:

$\tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)$

Zoals voor alle goniometrische functies is

$\sec(x)=\sec(x+2k\pi )$

Machtreeks

De secans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor $|x|<\pi /2$:

$\sec(x)=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$

Daarin is $E_{n}$ een eulergetal.

Cosecans

Van een scherpe hoek $\alpha$ in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek:

$\csc(b)=\sec(90^{\circ }-b)$

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek is:

$\csc(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{overstaande zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|CP\|}}=\|OK\|$

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek:

$\csc(b)={\frac {1}{\sin(b)}}$

De volgende vergelijking kan worden afgeleid:

$\cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)$

Machtreeks

De cosecans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor $0<|x|<\pi /2$:

$\csc(x)={\frac {1}{x}}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$

Daarin is $B_{n}$ het $n$-de bernoulligetal.

Grafieken

secans

en cosecans

Wiskundige functies