In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die door een enkel element kan worden voortgebracht. Dat element wordt de voortbrenger van de groep genoemd. Dat houdt in dat bij een multiplicatieve schrijfwijze, ieder element van de groep een macht is van de voortbrenger. Wanneer de notatie additief is, is ieder element een veelvoud van de voortbrenger. De cyclische groepen zijn commutatief, in vergelijking met andere groepen eenvoudig in hun beschrijving en volledig geclassificeerd.

Het gaat wanneer groepen als cyclische groep worden aangemerkt meestal om eindige cyclische groepen.

Definitie bewerken

Een groep   wordt cyclisch genoemd als er een element   is zodanig dat

 

Daarin is

 

Aangezien een groep die door een element in die groep wordt voortgebracht, een ondergroep van die groep is, volstaat het te laten zien dat er een element   bestaat zodanig dat   zelf de enige ondergroep is waar   element van is.

Voor elk positief geheel getal   is er precies één cyclische groep (tot op isomorfisme) waarvan de orde   is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd.

Voorbeelden bewerken

  • Als   een groep is van zes elementen, dan is   en is   cyclisch. Voor   kan de 6-e complexe eenheidswortel   worden genomen. De zes machten van   vormen een cyclische groep onder de vermenigvuldiging.   is een primitief element, maar   is dit niet, omdat de oneven machten van   geen macht van   zijn.
  • Een cyclische groep kan met de factorgroep   worden aangeven, waarin   de orde is, die ook   kan zijn. Bijvoorbeeld is in  , met   als voortbrenger:  , terwijl 3 + 4 = 2 in  .
  •   is qua groepsstructuur hetzelfde als, is isomorf met, de verzameling  , waarbij optellen met modulair rekenen is gedefinieerd, dus er   wordt gerekend. Zo correspondeert 1 + 2 = 3 (mod 6) met   en 2 + 5 = 1 (mod 6) met  . Men kan gebruikmaken van het isomorfisme   gedefinieerd door  .
  • Een voorbeeld van een cyclische groep is  , die uit de getallen   bestaat met als groepsbewerking optellen modulo 10. Deze groep kan worden voortgebracht door het element 3.
3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12 = 2 mod 10
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11 = 1 mod 10
1 + 3 = 4
4 + 3 = 7
7 + 3 = 0
0 + 3 = 3
Zo zijn alle elementen binnen de groep gevormd.
Aangezien de cyclische groepen abels zijn, worden zij vaak additief geschreven en aangeduid door  . Deze notatie strookt niet met de notatie in de getaltheorie, omdat dat daar de gebruikelijke notatie voor p-adische getallenringen is van lokalisatie van een priemideaal.
  • Verschillende cyclische groepen met hetzelfde aantal elementen zijn isomorf.   met daarbij optellen modulo vier,   met daarbij vermenigvuldigen modulo vijf en   met daarbij vermenigvuldigen zijn drie cyclische groepen met vier elementen. Zij zijn isomorf, hebben dezelfde cayley-tabel en komen overeen met  .
  • De oneindige cyclische groep is isomorf met de additionele groep van de gehele getallen  .[1]