Cyclische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die kan worden voortgebracht door één enkel element, voortbrenger geheten. Dat houdt in dat bij een multiplicatieve schrijfwijze, elk element van de groep een macht is van de voortbrenger (als de notatie additief is, een veelvoud van de voortbrenger).

De 6-e complexe eenheidswortels vormen een cyclische groep onder vermenigvuldiging. is een primitief element, maar is dit niet, omdat de oneven machten van geen macht van zijn.

DefinitieBewerken

Een groep   wordt cyclisch genoemd als er een element   is zodanig dat

 

Daarin is

 

Aangezien een groep die voortgebracht wordt door een element in die groep, een deelgroep van die groep is, volstaat het te laten zien dat er een element   bestaat zodanig dat   zelf de enige deelgroep is die   bevat.

Als bijvoorbeeld   een groep is van 6 elementen, dan is   en is   cyclisch. In feite is   qua groepsstructuur in essentie hetzelfde als (dat wil zeggen, isomorf met) de verzameling {0, 1, 2, 3, 4, 5} met optelling modulo 6. Zo correspondeert 1 + 2 = 3 (mod 6) met   en 2 + 5 = 1 (mod 6) met  . Men kan gebruikmaken van het isomorfisme   gedefinieerd door  .

Voor elk positief geheel getal   is er precies één cyclische groep ("upto" isomorfisme), waarvan de orde   is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd.

De naam 'cyclisch' kan misleidend zijn: het is mogelijk om oneindig veel elementen voort te brengen zonder letterlijke cycli te vormen; dat wil zeggen, elke   is verschillend. (Men kan zeggen dat het een oneindig lange cyclus heeft.) In dat geval moet men ook negatieve waarden van   in aanmerking nemen, dit geeft andere elementen. Een groep die op deze manier is voortgebracht wordt een oneindige cyclische groep genoemd en deze groep is isomorf met de additieve groep van gehele getallen  .

Verder is de cirkelgroep (waarvan het aantal elementen overaftelbaar is) geen cyclische groep - een cyclische groep heeft namelijk altijd aftelbare elementen.

Aangezien de cyclische groepen abels zijn, worden zij vaak additief geschreven en aangeduid door  . Deze notatie kan echter problematisch zijn voor getaltheoretici, omdat zij in strijd is met de gebruikelijke notatie voor  -adische getallenringen van lokalisatie van een priemideaal. De quotiëntgroep   is een alternatief.

Men kan de groep multiplicatief beschrijven, en de groep aangeven door  , waarin   de orde is (die ook   kan zijn). Bijvoorbeeld is in  , met   als voortbrenger:  , terwijl 3 + 4 = 2 in  .

Cyclische groepen zijn de eenvoudigste groepen. Er is voor ieder natuurlijk getal   een cyclische groep   van die orde en er is een oneindige cyclische groep, de optelgroep van de gehele getallen. Elke andere cyclische groep is met een van deze isomorf. Elke cyclische groep is commutatief.

Cyclische puntgroepen in twee en drie dimensiesBewerken

Bij eindige symmetriegroepen in drie dimensies worden vaak aparte notaties gebruikt voor rotatiegroepen en abstracte cyclische groepen, bijvoorbeeld respectievelijk   en  . De reden is dat zowel in twee als in drie dimensies verschillende symmetriegroepen als abstracte groep gelijk zijn, in twee dimensies zijn   en   als abstracte groep gelijk aan ekaar ( ) en in drie dimensies zijn onder meer   en   als abstracte groep aan elkaar gelijk ( ), en   en   ook ( ).

VoorbeeldBewerken

Een voorbeeld van een cyclische groep is ( ), die bestaat uit de getallen   met als groepsbewerking de optelling modulo 10. Deze groep kan worden voortgebracht door het element 3.

3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12 = 2 mod 10
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11 = 1 mod 10
1 + 3 = 4
4 + 3 = 7
7 + 3 = 0
0 + 3 = 3

Zo zijn alle elementen binnen de groep gevormd.

Een ander voorbeeld van een eindige cyclische groep is de groep van rotaties van een regelmatige veelhoek. Een dergelijke cyclische groep is dus een rotatiegroep. Bijvoorbeeld zijn er vijf rotaties, waaronder de identiteit, die de regelmatige vijfhoek op zichzelf afbeeldt.