Natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme is een begrip uit de wiskundige analyse. Het is de logaritme met als grondtal de wiskundige constante e, een symbool dat door Leonhard Euler is geïntroduceerd. De natuurlijke logaritme wordt in meer praktisch gerichte situaties aangeduid door , van logarithmus naturalis, maar men schrijft ook wel in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend is dat de natuurlijke logaritme wordt bedoeld. De naam 'natuurlijke logaritme' is afkomstig van de Duitse wiskundige Nikolaus Mercator, ±1620-1687. De natuurlijke logaritme wordt een enkele keer neperse logaritme genoemd, naar John Napier 1550-1617, een Schotse wiskundige, die een van de eersten was die met logaritmen rekende.

De natuurlijke logaritme van het getal is dus:

Voor de natuurlijke logaritme gelden dezelfde rekenregels als voor een logaritme met een willekeurig getal als grondtal.

Machtreeks bewerken

Het is gebruikelijk de reeksontwikkeling van de natuurlijke logaritme om 1 te geven, omdat de logaritme voor 0 niet is gedefinieerd. Voor reële getallen   is:

 

Eigenschappen bewerken

  • De functie   heeft gedefinieerd op de positieve reële getallen een reële uitkomst.
  • De afgeleide  .
  • De inverse functie is de e-macht, dus  .
  • De natuurlijke logaritme   van het complexe getal   is als volgt gedefinieerd:[1]
 
Voor een complex getal   gegeven in poolcoördinaten   is  , met   en   een willekeurig geheel getal. Er wordt voor de uitkomst in het algemeen voor de waarde tussen   en   gekozen.