Hoofdmenu openen
De exponentiële functie is vrijwel vlak voor negatieve waarden van x, maar wordt snel groter bij hogere, positieve waarden van x.

De exponentiële functie, genoteerd als of als is een functie van de exponent met grondtal het getal , het grondtal van de natuurlijke logaritme. De exponentiële functie is een belangrijke, veelgebruikte functie in de wiskunde.

Inhoud

Exponentiële functies in het algemeenBewerken

Ook wordt de term exponentiële functie wel gebruikt voor elke functie van de vorm  , waarin   een positief reëel getal is, of, hiermee gelijkwaardig, elke functie van de vorm   waarin   een reëel getal is. De variabele   kan elk reëel of complex getal zijn, of kan zelfs een geheel ander wiskundig object zijn. Bij   spreekt men wel van de antilogaritme.

Voor reële   onderscheidt men:

 : exponentiële groei
 : constante functie
 : exponentiële afname

De exponentiële functie  , en dus ook  , wordt geheel bepaald door de beginwaarde   voor   en de waarde  in een ander punt  .

Bij toepassingen zijn   en   in veel gevallen grootheden die uitgedrukt worden in een getal en een eenheid. Schrijft men: voor de functie:

 

dan zijn   en   dimensieloze grootheden. De functie beschrijft een grootheid   met beginwaarde  , die met een factor   toeneemt als de grootheid   met een bedrag   toeneemt van   tot  .

Formele definitieBewerken

De exponentiële functie kan op verschillende wijzen formeel gedefinieerd worden. Enkele gangbare definities zijn:

 
 
  • als unieke oplossing van het beginwaardeprobleem
 

De exponentiële functie is altijd positief (groter dan nul) en neemt toe met groter wordende x. De grafiek van de functie raakt de x-as echter niet, hoewel hij er willekeurig dicht toe kan naderen. De exponentiële functie is de inverse van de natuurlijke logaritme,   die gedefinieerd is voor alle positieve waarden van  

Complexe e-machtBewerken

De exponentiële functie is ook als machtreeks gedefinieerd voor complexe getallen

 

Net als voor reële getallen geldt voor twee complexe getallen  

 

Voor   met   is dus:

 

en omdat de reeksen absoluut convergeren:

 

Dit is de formule van Euler.

Dus:

 

VoorbeeldBewerken

Een voorbeeld van een exponentiële functie is iets waarvan de waarde bij iedere stap verdubbelt. Bij het begin is de waarde dus 1, na de eerste stap is deze 2, na de tweede 4, na de derde 8, na de vierde 16, en na de vijfde 32. De functiewaarde groeit anders gezegd veel sneller dan het argument. Deze functies beschrijven wat er gebeurt bij een exponentiële groei.

Bacteriegroei is een typisch voorbeeld van een verschijnsel dat zich exponentieel ontwikkelt.

EigenschappenBewerken

Als het grondtal tussen 0 en 1 ligt, daalt de functie, en als het grondtal groter is dan 1, stijgt de functie. De afgeleide van een exponentiële functie is ook een exponentiële functie met hetzelfde grondtal maal de natuurlijke logaritme van het grondtal.

De formele definitie van een exponentiële functie is:

 

Deze is gedefinieerd voor alle waarden van   en alle reële getallen   Deze functie wordt de exponentiële functie met basis of grondtal   genoemd.

Exponentiële functies geven een vertaling tussen optellen en vermenigvuldigen, zoals naar voren komt in de volgende exponentiële wetten:

 
 
 
 
 
 

Deze relaties zijn geldig voor alle positieve reële getallen   en   en alle reële getallen   en   Uitdrukkingen met breuken en wortels kunnen vaak worden vereenvoudigd met de exponentiële notatie, omdat

 

en voor elke   reëel getal   en geheel getal   geldt:

 

AntilogaritmeBewerken

Antilogaritmen zijn de inversen van logaritmen. Als   de logaritme met grondtal   is van   dan is   de antilogaritme met grondtal   van  

In termen van functies wordt dus onder de antilogaritme van de functie   de functie   (of na spiegeling in de lijn  , de functie   verstaan.

Deze inverse functie van de logaritme is de exponentiële functie met grondtal  

Het gebruik van het woord antilogaritme heeft te maken met de vraag welke functies als elementairder worden beschouwd. In het middelbare-schoolonderwijs worden logaritmen na machten met grondtal en exponent behandeld.

De logaritme   wordt dan gedefinieerd als de exponent van het grondtal   die bij   hoort:  . Daarbij gaan exponentiële functies dus vooraf aan logaritmen. Deze behandelwijze gaat er echter stilzwijgend van uit dat de macht   ook gedefinieerd is voor irrationale exponenten  

In de hogere wiskunde, waar een axiomatische opbouw van de elementaire functies wordt gehanteerd, wordt de exponentiële functie vaak gedefinieerd nadat de natuurlijke logaritme is gedefinieerd als de integraal  . Via de inverse functie van de natuurlijke logaritme, dus  , wordt dan de macht voor elke reële exponent   geïntroduceerd:  . Bij deze voortgang vat men logaritmen als elementairder zijnde op dan exponentiële functies. Het woord antilogaritme, in de betekenis van inverse van de logaritme, is in deze voortgang toepasselijk.