Hoofdmenu openen

Worteltrekken is een van de inverse operaties van het machtsverheffen (de andere inverse operatie is logaritme nemen). Voor informatie over de wiskundige betekenis van de wortel gaat u naar Wortel (wiskunde).

Inhoud

Handmatig worteltrekkenBewerken

Het trekken van een vierkantswortel uit een getal k komt neer op het zoeken naar een getal dat in het kwadraat k oplevert. Deze operatie is vrij bewerkelijk als k geen kwadraat is van een natuurlijk getal. De derdemachtswortel kan ook met de hand worden getrokken. Hieronder volgt een strategie om iedere vierkantswortel te berekenen.

Factoriseren en vereenvoudigenBewerken

  Op de pagina deelbaar zijn er trucjes om efficiënter de priemfactoren te vinden.

Als voorbeeld ontbinden we het getal 252 in priemfactoren. 252 is even en dus deelbaar door 2:

 

Ook 126 is even, dus

 

Het getal 63 is oneven, maar wel deelbaar door 3, en zelfs door 9:

 

Aangezien 7 een priemgetal is, is de factorisatie klaar.

In het kort:  . In de wiskunde wordt doorgaans deze vereenvoudigde vorm gebruikt. Exacter is het niet uit te drukken.

Klassiek algoritme voor worteltrekkenBewerken

Uitgebreidere rekenmachines hebben een worteltrekfunctie. Met pen en papier valt de wortel ook te trekken. Het is een iteratief proces dat overeenkomsten vertoont met de staartdeling. Vanwege het dubbele product moet de vorige uitkomst steeds maal twee genomen worden. Het algoritme staat al in onder meer Nederlandse rekenboeken uit de 17e eeuw, waarin ook de variant voor derdemachtswortels werd geleerd.

Voorbeeld 1Bewerken

 

Berekening in stappen:

  1. verdeel 1234 van achteren in tweetallen cijfers, dus 12 | 34
  2. zoek het getal waarvan het kwadraat zo dicht mogelijk het eerste tweetal benadert:  
  3. dit getal is het eerste cijfer van de wortel
  4. trek 32 = 9 af van 12, de rest is 3
  5. haal het volgende tweetal 34 erbij, dat geeft 334
  6. twee maal het voorlopige resultaat is 2 × 3 = 6
  7. welk cijfer c voldoet aan [6c] × c = 334 of iets kleiner? c=5 want 65 × 5 = 325.
  8. het volgende cijfer van de wortel is 5
  9. trek 325 af van 334, de rest is 9
  10. haal weer de twee volgende cijfers 00 erbij, dat geeft 900
  11. Omdat we de gehelen hebben uitgeput, zal een komma verschijnen in het antwoord.
  12. twee maal het voorlopige resultaat is 2 × 35 = 70
  13. welk cijfer c voldoet aan [70c] × c = 900 of iets kleiner? c=1 want 701 × 1 = 701.
  14. het volgende cijfer van de wortel is 1
  15. trek 701 af van 900 de rest is 199
  16. haal weer twee cijfers erbij, dus 00, dat geeft 19900
  17. twee maal het voorlopige resultaat is 2 × 351 = 702
  18. welk cijfer c voldoet aan [702c] × c = 19900 of iets kleiner? c=2 want 7022 × 2 = 14044.
  19. het volgende cijfer van de wortel is 2
  20. enzovoort ...

Voorbeeld 2Bewerken

Trek de wortel uit 543.

Verdeel het getal 543 in groepjes van twee cijfers te beginnen bij de komma:

    √5 43,00 00

Zoek het grootst mogelijke kwadraat dat in het eerste groepje van twee cijfers past:

       √5 43,00 00 = 
    ?×?= 

Het gezochte getal is 2:

       √5 43,00 00 = 2
    2×2=4
        —
        1

Met het verschil tussen dit kwadraat en het groepje wordt verder gerekend. Haal nu de volgende twee cijfers erbij:

       √5 43,00 00 = 2
    2×2=4
        —
        1 43

Zoek vervolgens het grootst mogelijke getal y zodat (2×20+y)y ≤ 143. Het getal 20 komt van het in de vorige stap gevonden cijfer 2.

       √5 43,00 00 = 2
    2×2=4
        —
        1 43
   4?×?= 

Hier past het cijfer 3. Bepaal ook weer de rest en haal het volgende groepje erbij.

       √5 43,00 00 = 23
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00

Zo gaat het verder: Zoek weer het grootst mogelijke getal y zodat (2×230+y)y ≤ 1400. Het getal 230 komt van de in de vorige stappen gevonden cijfers 23.

       √5 43,00 00 = 23
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00
    46?×?= 

Hier past het cijfer 3. Bepaal ook weer de rest en haal het volgende groepje erbij. Zoek het grootst mogelijke getal y zodat (2×2330+y)y ≤ 1400. Het getal 2330 komt van de in de vorige stappen gevonden cijfers 233.

       √5 43,00 00 = 23,3
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00
    463×3=13 89
          —————
             11 00
      466?×?= 

Zo gaat het door:

       √5 43,00 00 = 23,3023
    2×2=4
        —
        1 43
   43×3=1 29
        ————
          14 00
    463×3=13 89
          —————
             11 00
      4660×0=    0
             —————
             11 00 00
     46602×2= 9 32 04
             ————————
              1 67 96 00
    466043×3= 1 39 81 29

Wortel 543 met 4 cijfers achter de komma: 23,3023.