Riemann-variëteit

In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-variëteit een reële differentieerbare variëteit waarvan in elk punt de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De metriek is een positief definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor.

In andere woorden, een riemann-variëteit is een differentieerbare variëteit, waarvan de raakruimte in elk punt een eindig-dimensionale euclidische ruimte is, waar aan elk punt een zekere metriek kan worden toegekend. Als metriek kan men verschillende meetkundige begrippen, zoals hoeken, lengten van krommen, oppervlakken (of volumen), kromming, de gradiënt van functies en de divergentie van vectorvelden, op een riemann-variëteit definiëren.

De riemann-variëteit is naast de lorentz-variëteit de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip gekromde ruimte. Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, dat wil zeggen eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald coördinatenstelsel.

Riemann-variëteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, variëteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen.

DefinitieBewerken

Zij   een  -dimensionale gladde variëteit, waarvoor in elk punt   een inproduct   gedefinieerd is op de raakruimte   aan   in  .

In termen van een lokaal coördinatenstelsel   wordt het inproduct volledig vastgelegd door wat het met de basisvectoren

  (de partiële afgeleiden van positie naar elke coördinaat) doet. Noteer  .

Als de   functies   glad (onbeperkt differentieerbaar) zijn in hun afhankelijkheid van  , dat wil zeggen als functies van  , heet  een riemann-metriek op   en het paar   een riemann-variëteit.

Technisch kan men   beschouwen als een sectie van de bundel

 

(tweederangs-cotensoren), waarin

 

de corakende bundel van   is.

VoorbeeldenBewerken

De euclidische ruimte   is zelf een gladde variëteit, en de raakruimte in ieder punt   is een kopie van  . Door elk van deze vectorruimten uit te rusten met het standaardinproduct

 

wordt de euclidische ruimte zelf een riemann-variëteit. De identieke transformatie is een kaart van  , en ten opzichte van dat coördinatenstelsel is

 

waar we   noteren voor de Kroneckerdelta: 1 als  , 0 als  .

Als niet-triviaal voorbeeld beschouwen we  , de eenheidssfeer in  . De raakruimte van   in een punt   kan gemodelleerd worden door het overeenkomstige raakvlak aan   in  . Als oorsprong van de vectorruimte   nemen we het raakpunt   zelf.

Deze raakruimten erven het inproduct van de euclidische ruimte   zoals beschreven in het vorige voorbeeld.

Beschouw de kaart op (een deel van)   die gedefinieerd wordt door de twee hoeken van de bolcoördinaten:   is het azimut ten opzichte van de  -as, en   de elevatie ten opzichte van het XY-equatorvlak (vgl. met geografische lengte resp. geografische breedte).

In een gegeven punt   vormen de basisvectoren   en   weliswaar een orthogonale basis, maar geen orthonormale basis. De vector   is een eenheidsvector, maar de vector   heeft lengtekwadraat

 

Afgeleide begrippenBewerken

Met behulp van de metriek   worden uiteindelijk alle verdere lokale begrippen uit de differentiaalmeetkunde gedefinieerd. Enkele voorbeelden:

Algemene vormenBewerken

Een belangrijk deel van de differentiaalmeetkunde blijft nog overeind als we veronderstellen dat de symmetrische bilineaire vorm   niet noodzakelijk positief-definiet, maar wel overal niet-ontaard is in de zin dat de determinant van de bijhorende vierkante matrix der functies   nergens nul is.

Een dergelijke constructie   heet pseudo-riemann-variëteit.

Als de determinant nergens nul is, en   is samenhangend, dan is de index van   constant (als hij constant 0 is, dan is   positief definiet en hebben we een gewone riemann-variëteit).

Een lorentz-variëteit is een semi-riemann-variëteit waarvan de metrische tensor overal index 1 heeft, dat wil zeggen dat een van de eigenwaarden negatief is, en alle andere positief. Meestal wordt aangenomen dat de dimensie minstens 2 bedraagt.

Lorentz-variëteiten modelleren de ruimtetijd in de speciale en in de algemene relativiteitstheorie.