Isotherme coördinaten

In de differentiële meetkunde binnen de wiskunde zijn isotherme coördinaten of conforme coördinaten lokale coördinaten op een riemann-variëteit waarbij de metriek conform is met de euclidische metriek. Dit betekent dat in isotherme coördinaten de riemann-metriek lokaal de vorm heeft van:

waar conforme factor, welke een gladde functie is. Als de riemann-variëteit georiënteerd is, zijn er die beweren dat een coördinatensysteem met die oriëntatie moet overeenkomen om isotherm te zijn.

Isotherme coördinaten op oppervlakken

bewerken

Isotherme coördinaten op oppervlakken werden voor het eerst in 1822 door Gauss geïntroduceerd,[1] die het bestaan van de coördinaten bewees op een willekeurig oppervlak met een analytische metriek, volgens de resultaten op omwentelingsoppervlakken van Lagrange uit 1779.[2] Korn[3] en Lichtenstein[4] bewezen dat isotherme coördinaten bestaan rond elk punt op een 2D-riemann-variëteit.

Beltrami-vergelijking

bewerken

Het bestaan van isotherme coördinaten kan worden bewezen door bekende existentiestellingen toe te passen voor de Beltrami-vergelijking, die gebaseerd zijn op Lp-schattingen voor singuliere integrale operatoren van Calderón en Zygmund.[5][6] Een eenvoudigere benadering van de Beltrami-vergelijking is in 2000 door Adrien Douady gegeven.[7]

Als de riemann-metriek lokaal wordt gegeven als

 

dan heeft het in de complexe coördinaat   de vorm

 

waarbij   en   glad zijn met   en  . Oftewel,

  en
 

Een lokale coördinaten grafiek   van   wordt een isotherme coördinaten systeem genoemd. In isotherme coördinaten   is de lokale metriek dan

 

waarbij   glad is. De complexe coördinaat   voldoet aan

 

zodat de coördinaten   isotherm zullen zijn als de Beltrami-vergelijking

 

een diffeomorfe oplossing heeft. Het is bewezen dat een dergelijke oplossing bestaat in elke buurt waar  .

Gaussiaanse kromming

bewerken

De gaussiaanse kromming neemt in de isotherme coördinaten   een eenvoudigere vorm aan, namelijk