Hoofdmenu openen

In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone cartesische coördinaten de vector is van partiële afgeleiden, is de veralgemening van het begrip afgeleide in meer dimensies.

Inhoud

DefinitieBewerken

Onder de gradiënt   van een reële functie   van   reële veranderlijken   in een punt   van  , verstaat men de vector met als componenten de partiële afgeleiden van   in   dus:

 

Vaak noteert men de gradiënt met behulp van de formele operator nabla:

 

Als deze partiële afgeleiden in (een open deelverzameling van)   bestaan, bepaalt de gradiënt van   een vectorveld.

Formeel is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van   (zie differentieerbaarheid).

VoorbeeldBewerken

Voor de driedimensionale functie   is dus:

 

Stel dat   wordt gegeven door:

 

Dan wordt de gradiënt van   gegeven door:

 ,

wat een vectorveld in drie dimensies voorstelt.

Sterkste variatieBewerken

Met elke (georiënteerde) richting van   komt een richtingsafgeleide van   in   overeen. Als   differentieerbaar is in   dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.

Gekromde ruimtenBewerken

Op een algemene gladde variëteit noteert men   voor de eenvorm (covectorveld) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van   in dat coördinatenstelsel.

Op een riemann-variëteit levert de metrische tensor   een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een vectorveld kan worden opgevat: