Gradiënt (wiskunde)

wiskunde

In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone cartesische coördinaten de vector is van partiële afgeleiden, is de generalisatie in meer dimensies van het begrip afgeleide. De gradiënt is formeel hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van .

De gradiënt van de functie f(x,y) = −(cos2x + cos2y)2 voorgesteld als een projectie van het vectorveld op het onderste vlak

Met ieder vectorveld in de komt een richtingsafgeleide van in overeen. Als differentieerbaar is in , bepaalt de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleide.

DefinitieBewerken

Onder de gradiënt van een reële functie   van   reële veranderlijken   in een punt   van de   verstaat men de vector   met als elementen de partiële afgeleiden van   in  , dus:

 

De gradiënt wordt in het algemeen met de formele operator nabla genoteerd:

 

Als de   partiële afgeleiden in een open deelverzameling   van   bestaan, bepaalt de gradiënt van   een vectorveld op  .

De gradiënt wordt gebruikt bij de definitie van de divergentie en de rotatie. Gegeven een vectorveld   is   en  . De divergentie is een scalair, de rotatie is net zoals de gradiënt een vector.

VoorbeeldBewerken

Voor de driedimensionale functie   is dus:

 

Stel dat   wordt gegeven door:

 ,

dan wordt de gradiënt van   gegeven door:

 ,

wat een vectorveld in drie dimensies voorstelt.

Gekromde ruimtenBewerken

Op een algemene gladde variëteit noteert men   voor de eenvorm (covectorveld) waarvan de elementen ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van   in dat coördinatenstelsel.

Op een riemann-variëteit levert de metrische tensor   een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een vectorveld kan worden opgevat: