Sfeer (wiskunde)

In de meetkunde is een boloppervlak of sfeer een driedimensionale figuur die gevormd wordt door alle punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van het boloppervlak. Een bol kan zowel opgevat worden als driedimensionale generalisatie van de cirkel, als van de cirkelschijf.

Perspectivische projectie van een sfeer

Daarnaast wordt met een open bol de open verzameling punten binnen een sfeer en met een gesloten bol de gesloten verzameling punten binnen een sfeer bedoeld.

Andere talen

Het is in sommige gevallen nodig duidelijk onderscheid tussen een bol als oppervlak en als lichaam te kunnen maken. Het oppervlak kan daartoe als sfeer of als boloppervlak worden aangeduid. Hetzelfde doet zich in de andere talen voor. In het Engels is sphere van oorsprong zowel het boloppervlak als het lichaam. Men maakt in het Engels wel onderscheid tussen 'sphere' als oppervlak en ball als lichaam. In het Duits worden met Kugel ook zowel het oppervlak als het lichaam aangeduid en heeft men daarnaast het woord Sphäre voor het oppervlak. In het Frans bestaat dezelfde tweeduidigheid met het woord boule en gebruikt men sphère voor het oppervlak.

Definitie

Een sfeer is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die op een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt, het middelpunt van de sfeer. De sfeer $S(m,R)$ met straal $R>0$ en middelpunt $m\in \mathbb {R} ^{3}$

$S(m,R)=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \|x-m\|=R\}$

De sfeer kan ook vastgelegd worden door een vergelijking. De sfeer met oorsprong in het punt $m=(x_{0},y_{0},z_{0})$ en straal $R$ is in cartesische coördinaten gegeven door:

$\|x-m\|^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}$

Het oppervlak van een sfeer met straal $R$ heeft grootte

$A=4\pi R^{2}$

De eenheidsbol, het oppervlak, is de sfeer $S(0,1)$ met de oorsprong als middelpunt en straal 1.

Wiskundige vergelijking

In cartesische coördinaten

In cartesische coördinaten kan een boloppervlak met straal $r$ en middelpunt $(x_{0},y_{0},z_{0})$ weergegeven worden door de vergelijking:

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$.

Parametervergelijking

In bolcoördinaten ten opzichte van het middelpunt luidt de vergelijking:

$x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi$

$y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \varphi <2\pi {\mbox{ en }}0\leq \theta \leq \pi )$

$z=z_{0}+r\cos \theta$

Differentiaalvergelijking

Ieder boloppervlak wordt beschreven door de differentiaalvergelijking

$x\,{\rm {d}}x+y\,{\rm {d}}y+z\,{\rm {d}}z=0$

Willekeurige dimensie

Voor ieder natuurlijk getal $n\geq 0$ definieert men de $n$-sfeer met middelpunt $m$ en straal $r$ als

$S^{n}(m,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid d(x,m)=r\}$

met als speciaal geval de eenheidsbol in $n+1$ dimensies

$S^{n}=S^{n}(0,1)$

Het getal $n$ is de dimensie van $S^{n}$ opgevat als topologische variëteit; intuïtief is dit het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel $S^{1}$ lokaal gezien een eendimensionale lijn, en het boloppervlak $S^{2}$ lokaal een tweedimensionaal vlak.

Het gehanteerde afstandsbegrip komt meestal met de gewone metriek overeen.

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{n+1}-y_{n+1})^{2}}}$

De sfeer $S^{n}(m,r)$ is de rand van de gegeneraliseerde bol $B^{n+1}(m,r)$ in $n+1$ dimensies.

In $n$ dimensies is de gegeneraliseerde bol gedefinieerd als

$B^{n}(m,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid d(x,m)\leq r\}$

met als speciaal geval de eenheidsbol

$B^{n}=B^{n}(0,1)$

De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt – afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde – uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of riemannse variëteit.

Het vermoeden van Poincaré betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de driesfeer $S^{3}$.

De driesfeer wordt soms “aanschouwelijk” gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van $\mathbb {C} ^{2}$:

$S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} \,{\bigg |}\,|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}$

De topologische zevensfeer $S^{7}$ kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Een daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{8}$, de andere 27 zijn voorbeelden van exotische differentiaalstructuren.

De stelling van Borsuk-Ulam gaat over continue afbeeldingen van de $n$-sfeer naar de $n$-dimensionale euclidische ruimte.

Andere metrieken

In een willekeurige metrische ruimte $(X,d)$, of zelfs een pseudometrische ruimte, is de sfeer met middelpunt $m$ en straal $R>0$ op analoge wijze gedefinieerd:

$S(m,R)=\left\{x\in X|d(x,m)=R\right\}$

Is bijvoorbeeld het vlak $\mathbb {R} ^{2}$ uitgerust met de Manhattan-metriek

$d(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|$,

dan hebben de cirkels de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen.

Riemann-sfeer

De riemann-sfeer is het riemann-oppervlak dat ontstaat door aan het complexe vlak $\mathbb {C}$ één punt $\infty$ toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van $\infty$ bepaald wordt door de afbeelding

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus \{0\}:z\mapsto {1 \over z}$,

als een kaart met kromlijnige coördinaten van het complexe vlak te beschouwen.

Topologisch is de riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone eenheidsbol $S^{2}$.

Meetkundig modelleert de riemann-sfeer de complexe projectieve lijn $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$.

Mediabestanden

Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.