Hoofdmenu openen

Een differentiaalvorm is een object uit de meetkunde. Het geeft een precieze betekenis aan begrippen als "georiënteerd volume van een deelruimte" of "georiënteerde integraal over een deelruimte". Het veralgemeent onder meer:

Differentiaalvormen leven in het algemeen op gladde variëteiten, dat zijn gekromde ruimten waarvan de punten plaatselijk kunnen beschreven worden met coördinaten. Dit artikel begint echter met de definitie van differentiaalvormen op de -dimensionale reële Euclidische ruimte

DefinitieBewerken

Zij   een natuurlijk getal. Het  -voudige uitwendig product van   met zichzelf is het antisymmetrisch tensorproduct, dus een quotiënt van het gewone tensorproduct waarbij sommige elementen met elkaar of met elkaars tegengestelde worden geïdentificeerd. Meer bepaald blijft het antisymmetrisch tensorproduct van   vectoren ongewijzigd onder een even permutatie, en verwisselt het van teken onder een oneven permutatie.

 

Hier is   de symmetrische groep (permutatiegroep) op   elementen, en   is 1 of –1 naargelang de permutatie   even of oneven is.

Een homogene differentiaalvorm van rang   kortweg  -vorm, is een gladde functie van   naar  

OpmerkingenBewerken

Voor   is   Men bestudeert dus gewoonlijk slechts differentiaalvormen van orde  

Voor   is   De 0-vormen zijn dus gewoon de gladde reële functies op   in deze context ook scalairen genoemd.

De dimensie van   is gelijk aan het aantal combinaties van   uit  

BasisBewerken

Noteer   voor de standaardbasis van   Zij   Noteer

 

voor het beeld van

 

onder de canonische surjectie

 

De vectoren

 

vormen een basis voor   Elke  -vorm kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze vectoren met als coëfficiënten, gladde functies van   naar  

 

Interpretatie en voorbeeldenBewerken

Intuïtief is een  -vorm een georiënteerde volumemeting in   dimensies. Formeel is het een som van 0 of meer objecten van de vorm

 

In drie dimensies definiëren we bijvoorbeeld een 2-vorm   en een 1-vorm   door

 
 

Uitwendige afgeleideBewerken

De uitwendige afgeleide of differentiaal van een  -vorm   is een  -vorm, genoteerd als   met de volgende definitie

 

en verder op sommen van dergelijke  -vormen en op niet-homogene differentiaalvormen door lineariteit.

In de bovenstaande som zijn hoogstens   van de   termen verschillend van nul, want door antisymmetrie is   als minstens een van de indices   gelijk is aan  

VoorbeeldenBewerken

Zij   de 2-vorm gegeven door

 

Dan is zijn uitwendige afgeleide

 

De volgende 2-vormen hebben telkens uitwendige afgeleide 0:

 
 

Algemene definitie in gekromde ruimtenBewerken

Zij   een  -dimensionale gladde variëteit met rakende bundel   De coraakruimte   is de duale bundel. De uitwendige algebra over   genoteerd   is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van   met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van de tensoralgebra van   over een (tweezijdig) ideaal zoals hierboven bij de reële Euclidische ruimte.

De antisymmetrie in de definitie impliceert dat in de oneindige directe som alleen de eerste   termen ( ) niet-triviaal zijn.

Een differentiaalvorm over   is een sectie van de bundel   Een  -vorm of homogene differentiaalvorm van rang  , over   is een sectie van de deelruimte   der antisymmetrische  -lineaire vormen (cotensoren van rang  ).

Schrijfwijze in lokale coördinatenBewerken

In een coördinatenstelsel   is een differentiaalvorm een uitdrukking van de vorm

 

Een  -vorm is een dergelijke uitdrukking waarbij alleen termen met uitwendige producten van precies   covectoren optreden. Bij een coördinatentransformatie gedraagt elke term afzonderlijk zich als een cotensor van rang  

InterpretatieBewerken

De interpretatie als georiënteerde  -dimensionale volumemeting blijft gelden in gekromde ruimten.

Nulvormen zijn gewone reëelwaardige functies op   Eenvormen zijn covectorvelden, ze meten de lengte van een vectorveld (eventueel negatief). Tweevormen zijn antisymmetrische bilineaire vormen op de raakruimte, ze meten de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram dat wordt opgespannen door twee raakvectoren met hetzelfde aangrijpingspunt.

Volume en oriënteerbaarheidBewerken

De hoogst mogelijke   waarvoor niet-triviale  -vormen bestaan, is de dimensie   van de variëteit. Als   blijft er nog slechts één vrijheidsgraad over (de vezels van de cotensorbundel hebben dimensie 1):

 

Niet elke variëteit heeft een globale  -vorm die in ieder punt verschilt van 0. Als een dergelijke vorm bestaat, heet hij volumevorm en de variëteit heet oriënteerbaar.

CohomologieBewerken

De uitwendige afgeleide   is een lineaire transformatie van   Steunend op de verwisselbaarheid van partiële afgeleiden kan men aantonen dat   m.a.w. de differentiaal van een differentiaal is triviaal.

Een  -vorm heet gesloten als zijn uitwendige afgeleide nul is. Een  -vorm heet exact als hij zelf de uitwendige afgeleide is van een  -vorm. Exacte differentiaalvormen zijn gesloten, maar het omgekeerde hoeft niet altijd waar te zijn. In het bijzondere geval van de Euclidische ruimte   is elke gesloten differentiaalvorm exact.

Een voorbeeld van een gesloten vorm is de 2-vorm

 

Deze differentiaalvorm is tevens exact. Hij is de uitwendige afgeleide \mathrm{d}q van de 1-vorm

 

Beschouw de volgende 1-vorm op de tweedimensionale ruimte  

 

Men verifieert rechtstreeks door berekening dat   Er bestaat echter geen 0-vorm (scalaire functie)   op heel   die   als differentiaal heeft. De functie

 

voldoet aan   maar ze kan niet globaal gedefinieerd worden zonder discontinuïteit, bijvoorbeeld met een "sprong" van   naar   op de negatieve helft van de  -as.

De uitwendige afgeleide maakt van de rij bundels der homogene  -vormen ( ) een coketencomplex. De bijbehorende cohomologie is de de Rham-cohomologie van de variëteit   Het laatste voorbeeld toont aan dat de eerste cohomologie van

 

niet triviaal is.