Hoofdmenu openen
Vier voorbeelden en twee niet-voorbeelden van topologieën op de drie-punten-verzameling {1,2,3}. Het voorbeeld linksonder is geen topologie, omdat de vereniging {2,3} van {2} en {3} ontbreekt; het voorbeeld rechtsonder is geen topologie, omdat de doorsnede {2} van {1,2} en {2,3} ontbreekt.

Een topologische ruimte is een verzameling met een zodanige structuur dat er continue afbeeldingen (functies) op kunnen worden gedefinieerd. De tak van de wiskunde die zich bezighoudt met topologische ruimten en continue afbeeldingen daartussen, is de topologie.

Inhoud

DefinitieBewerken

Een topologische ruimte is een verzameling   samen met een collectie   van deelverzamelingen van  , open verzamelingen genoemd, die aan de volgende axioma's voldoen:

  1.   (de lege verzameling) en   zijn open.
  2. De vereniging van willekeurig veel open verzamelingen is open.
  3. De doorsnede van twee open verzamelingen is open.

Een dergelijke collectie open verzamelingen wordt een topologie op   genoemd. Het koppel   wordt dan een topologische ruimte genoemd. Een gesloten verzameling is een verzameling waarvan het complement open is.

HomeomorfBewerken

Twee topologische ruimten zijn homeomorf als tussen beide een homeomorfisme bestaat. Topologisch gezien zijn homeomorfe ruimten gelijkwaardig.

VoorbeeldenBewerken

Voorbeelden van topologische ruimten zijn:

  • Een metrische ruimte   met de door de metriek geïnduceerde topologie. De open verzamelingen zijn de deelverzamelingen   van   waarvan elk punt een inwendig punt is. Voor willekeurige topologische ruimten geldt overigens dat een verzameling open is dan en slechts dan als elk punt ervan een inwendig punt van die verzameling is).
  • Ook een pseudometrische ruimte heeft een topologie die door de pseudometriek wordt geïnduceerd, op dezelfde manier als bij een metriek.
  • Voor een willekeurige verzameling   is de triviale topologie de topologie die als open verzamelingen alleen de lege verzameling   en   zelf heeft.
  • Voor een willekeurige verzameling   is de discrete topologie de collectie  , dus waarin elke deelverzameling van   open is.
  • Een verzameling   met als open verzamelingen de lege verzameling en alle verzamelingen waarvan het complement eindig is. Dit heet de cofiniete topologie. Is   zelf een eindige verzameling, dan is de cofiniete topologie dezelfde als de discrete topologie.
  • Zij   een commutatieve ring en   het spectrum van   (dit is de verzameling priemidealen van  ).   is dan een topologische ruimte met als gesloten verzamelingen de verzamelingen van de vorm  , waarin   een ideaal van   is. Deze topologische ruimte is compact, en de zojuist gedefinieerde topologie heet de Zariski-topologie.

Alternatieve karakteriseringenBewerken

De topologische structuur van   kan ook worden vastgelegd door een van de volgende elementen te specificeren:

  1. welke delen van   zijn gesloten verzamelingen
  2. wat is de afsluiting van elk deel van  
  3. wat is het inwendige van elk deel van  

BasisBewerken

Een basis voor een topologische ruimte is een collectie open verzamelingen van   met de eigenschap dat iedere andere open verzameling van   geschreven kan worden als een vereniging van elementen van de basis. Topologische ruimten zijn eenvoudiger te bestuderen als ze beschikken over een basis met een beperkt aantal elementen (bijvoorbeeld aftelbaar), zelfs als de collectie van alle open verzamelingen veel groter is.

De metrische ruimte   (met de gewone Euclidische afstandsfunctie) heeft overaftelbaar veel open verzamelingen, maar er bestaan aftelbare basissen - bijvoorbeeld: de open bollen met rationale straal en rationale coördinaten van het middelpunt.

Categorieën van topologische ruimtenBewerken

Men onderscheidt bijzondere categorieën van topologische ruimten met betrekking tot de mogelijkheid om punten en verzamelingen onderling te scheiden door open verzamelingen. In oplopende volgorde van strengheid bepalen de verschillende scheidingsaxioma's, tussen haakjes vermeld, de volgende ruimten:

Men kan ruimten ook indelen naargelang van het bestaan van bases met een "klein" aantal open verzamelingen, zoals geformuleerd in de aftelbaarheidsaxioma's   en  .

Andere eigenschappen die een ruimte 'hanteerbaarder' maken zijn: compactheid en separabiliteit.