Hoofdmenu openen
Riemann-oppervlakte voor de functie

In de wiskunde, in het bijzonder in de complexe analyse, is een riemann-oppervlak een eendimensionale complexe variëteit. Riemann-oppervlakken werden voor het eerst bestudeerd door Bernhard Riemann en zijn ook naar hem genoemd. Ze kunnen worden gezien als "vervormde versies" van het complexe vlak. Lokaal, in de buurt van een willekeurig punt, zien ze eruit als stukjes van het complexe vlak, maar de globale topologie kan heel anders zijn. Zo kan een riemann-oppervlak eruitzien als een bol, een torus of een paar aan elkaar geplakte vellen papier.

Het belangrijkste aspect van riemann-oppervlakken is dat men holomorfe functies kan definiëren tussen twee riemann-oppervlakken. Riemann-oppervlakken worden tegenwoordig beschouwd als de natuurlijke context voor de studie naar het globale gedrag van holomorfe functies, met name de meerwaardige functies, zoals worteltrekken en andere algebraïsche functies, of de logaritmen.

Elk riemann-oppervlak is een tweedimensionale reële analytische variëteit (dat wil zeggen, een oppervlak), maar het bevat meer structuur (in het bijzonder complexe structuur), nodig voor de eenduidige definitie van holomorfe functies. Een tweedimensionale reële variëteit kan alleen dan in een riemann-oppervlak worden omgezet - gewoonlijk op meerdere niet-equivalente manieren - als deze variëteit oriënteerbaar is. De bol en de torus laten dus complexe structuren toe, maar de möbiusband, de kleinfles en het projectieve vlak niet, aangezien zij niet oriënteerbaar zijn.

Meetkundige feiten betreffende riemann-oppervlakken zijn zo "mooi" als maar mogelijk is. Zij bieden vaak de intuïtie en motivatie voor generalisaties naar andere krommen en variëteiten. De stelling van Riemann-Roch is hier een voorbeeld van.

DefinitiesBewerken

Er zijn verschillende gelijkwaardige definities van een riemann-oppervlak.

  1. Een riemann-oppervlak   is een complexe variëteit van (complexe) dimensie een. Dit betekent dat   een samenhangende hausdorff-ruimte is die is uitgerust met een atlas, dat wil zeggen dat voor elk punt   er een omgeving is die   bevat en die homeomorf is met de eenheidsschijf van het complexe vlak. Het homeomorfisme dat de structuur van het complexe vlak overbrengt naar het riemann-oppervlak, heet een kaart. Tevens wordt geëist dat transitieafbeeldingen tussen twee overlappende kaarten holomorf zijn.
  2. Een riemann-oppervlak   is een riemann-variëteit van (reële) dimensie twee - vandaar de naam riemann-oppervlak - samen met een hoekgetrouwe structuur. De term variëteit houdt in dat de ruimte lokaal, op elk punt   van  , verondersteld wordt zich te gedragen als in het reële vlak. Het voorvoegsel "riemann" betekent dat   is uitgerust met een zogenaamde riemann-metriek  , die het mogelijk maakt om hoeken op de variëteit te meten. Twee van zulke metrieken worden als equivalent beschouwd, indien de gemeten hoeken hetzelfde zijn. De keuze van een metriek, en dus een equivalentieklasse van metrieken, op   is het aanvullend gegeven van de hoekgetrouwe structuur.

Een complexe structuur geeft aanleiding tot een hoekgetrouwe structuur door de keuze van de standaard euclidische metriek gegeven op het complexe vlak, en deze met behulp van de eerder genoemde kaarten mee te nemen naar  .

VoorbeeldenBewerken

 
Het riemann-oppervlak.
  • Het complexe vlak   is misschien wel het meest basale riemann-oppervlak. De afbeelding   (de identiteitsafbeelding) definieert een kaart voor   en   is een atlas voor  . De afbeelding   (de geconjugeerde afbeelding) definieert ook een kaart op   en   is een atlas voor  . De kaarten   en   zijn niet compatibel, zodat   hierdoor voorzien is van twee verschillende structuren als riemann-oppervlak. In feite is, gegeven een riemann-oppervlak   en de atlas  , de geconjugeerde atlas   in geen enkel geval compatibel met  , en voorziet zij   van een verschillende, incompatibele riemann-structuur.
  • Op een soortgelijke manier kan iedere open deelverzameling van het complexe vlak op een natuurlijke manier als een riemann-oppervlak worden gezien. Meer in het algemeen geldt dat elke open deelverzameling van een riemann-oppervlak zelf ook een riemann-oppervlak is.
  • Zij   en   voor  , en   voor   en  . Dan zijn   en   kaarten, zij zijn compatibel, en   is een atlas voor  , waardoor   een riemann-oppervlak wordt. Dit bijzondere oppervlak wordt de riemann-sfeer genoemd, omdat dit oppervlak kan worden geïnterpreteerd als het wikkelen van het complexe vlak rondom deze sfeer. In tegenstelling tot het complexe vlak, is deze riemann-sfeer compact.
 
Een torus.
  • Van de theorie van de compacte riemann-oppervlakken kan worden aangetoond dat deze equivalent is met die van de projectieve algebraïsche krommen die zijn gedefinieerd over de complexe getallen en die niet-singulier zijn. Bijvoorbeeld, de torus  , waarin   een complexe niet-reëel getal is, die via de Weierstrass-elliptische functie, geassocieerd met het rooster  , correspondeert met een elliptische kromme, die wordt gegeven door een vergelijking
 
Torussen zijn de enige riemann-oppervlakken van genus een, oppervlakken van hogere genera   worden geleverd door de hyperelliptische oppervlakken
 ,
waarin   een complexe veelterm is van graad  .

Classificatie van riemann-oppervlakkenBewerken

Het rijk van de riemann-oppervlakken kan worden verdeeld in drie regimes: hyperbolische, parabolische en elliptische riemann-oppervlakken, waar het onderscheid wordt gegeven door de uniformeringsstelling. Meetkundig corresponderen deze begrippen met negatieve kromming, nulkromming (plat), en positieve kromming: het formuleren van de uniformiseringsstelling in termen van de hoekgetrouwe meetkunde, elke verbonden riemann-oppervlak   erkent een unieke volledige 2-dimensionale reële riemann-metriek met constante kromming −1, 0 of 1 die dezelfde hoekgetrouwe structuur induceert - elke metriek is qua hoekgetrouwheid gelijkwaardig aan een constante kromming metriek. Het oppervlak   noemt men respectievelijk hyperbolisch, parabolisch en elliptisch.

Voor enkelvoudig samenhangende riemann-oppervlakken geeft de uniformiseringsstelling aan dat ieder enkelvoudig samenhangende aangesloten riemann-oppervlak qua hoekgetrouwheid equivalent is aan van de drie onderstaande gevallen:

elliptisch
de riemann-sfeer  , ook aangeduid als de complexe projectieve lijn  
parabolisch
het complexe vlak  , of
hyperbolisch
de open schijf   of equivallent het bovenhalfvlak  .

Het bestaan van deze drie soorten loopt parallel aan de verschillende soorten niet-euclidische meetkunden.

De algemene techniek van het associëren met een variëteit   van een universele dekkende ruimte  , en de originele   uitdrukken als het quotiënt van   door de groep van dektransformaties geeft een eerste overzicht van riemann-oppervlakken.

Elliptische riemann-oppervlakkenBewerken

Per definitie zijn deze de oppervlakken   met een constante kromming +1. De riemann-sfeer   is het enige voorbeeld. (Elliptische functies zijn voorbeelden van parabolische riemann-oppervlakken. De naamgeving komt uit de geschiedenis: elliptische functies zijn gekoppeld aan elliptische integralen, die op hun beurt weer opduiken in de berekening van de omtrek van ellipsen).

Parabolische riemann-oppervlakkenBewerken

Per definitie zijn dit de oppervlakken   met een constante kromming 0. Op gelijkwaardige wijze moet, door de uniformeringsstelling, de universele overdekking van   het complexe vlak zijn.

Er zijn dan drie mogelijkheden voor  . Het kan het vlak zelf zijn, een annulus of een torus

 

De verzameling van weergaven van de nevenverzamelingen worden fundamentele domeinen genoemd.

Men dient zich te realiseren dat twee tori altijd homeomorf aan elkaar, maar in het algemeen niet biholomorf aan elkaar zijn. Dit is de eerste verschijning van het probleem van de moduli. De modulus van een torus kan worden gevangen in een enkel complex getal   met een positief imaginair deel. In feite is de gemarkeerde moduliruimte (Teichmüller-ruimte) van de torus biholomorf met het bovenste halfvlak of op gelijkwaardige wijze de open eenheidsschijf.

Hyperbolische riemann-oppervlakkenBewerken

De riemann-oppervlakken met kromming −1 worden hyperbolisch genoemd. Deze groep is de "grootste".

De gevierde afbeeldingstelling van Riemann stelt dat elke enkelvoudig aangesloten strikte deelverzameling van het complexe vlak biholomorf is aan de eenheidsschijf. Daarom is de open schijf met de poincaré-metriek van constante kromming −1 het lokale model van een hyperbolisch riemann-oppervlak. Volgens de uniformeringsstelling hierboven zijn alle hyperbolische oppervlakken quotiënten van de eenheidsschijf.

Voorbeelden hiervan zijn alle oppervlakken met een genus  , zoals hyper-elliptische krommen.

Voor elk hyperbolische riemann-oppervlak is de fundamentaalgroep isomorf met de fuchs-groep. Het oppervlak kan dus gemodelleerd worden door een fuchs-model  , waarin   het bovenhalfvlak en   de fuchs-groep is. De verzameling van weergaven van de nevenklassen van   zijn vrije regelmatige verzamelingen en kan worden gevormd in en op metrische fundamentele veelhoeken. Quotiënt-structuren, zoals  , zijn gegeneraliseers naar shimura-variëteiten.

In tegenstelling tot de elliptische en parabolische oppervlakken is er geen classificatie van de hyperbolische oppervlakken mogelijk. Elke verbonden open strikte deelverzameling van het vlak geeft een hyperbolische oppervlak; beschouw het vlak minus een cantor-verzameling. Een classificatie is mogelijk voor oppervlakken van het eindige type: die met eindig gegenereerde fundamentaalgroepen. Elk van deze heeft een eindig aantal moduli en op die wijze een eindig-dimensionale teichmüller-ruimte. Het probleem van de moduli (opgelost door Lars Ahlfors en uitgebreid door Lipman Bers) diende om Riemanns claim te rechtvaardigen voor een gesloten oppervlak van het geslacht   complexe parameters volstaan.

Wanneer een hyperbolisch oppervlak compact is, dan is de totale oppervlakte van het oppervlak gelijk aan  , waarin   het genus van het oppervlak is; de oppervlakte wordt verkregen door de stelling van Gauss-Bonnet toe te passen op het oppervlak van de fundamentele veelhoek.

Externe linkBewerken