Hoofdmenu openen

Divergentie (wiskunde)

wiskunde

In de wiskunde is divergentie het tegenovergestelde van convergentie. Een rij, reeks (som) of een integraal is divergent als deze niet convergent is. Ruwweg kan men stellen dat divergentie inhoudt dat in de limiet de waarde blijft schommelen, of niet begrensd is.

VoorbeeldenBewerken

De oneindige som

 

is divergent. Als men de som van de eerste   termen neemt, met   even, is de som nul, maar voor oneven   is deze gelijk aan een. Het is duidelijk dat de totale som dus niet goed gedefinieerd kan zijn.

Een ander bekend voorbeeld is de integraal

 

Aangezien de functie   snel klein wordt, zou men kunnen hopen dat de bovenstaande integraal eindig is, maar dat is niet zo. Elementaire analyse geeft inderdaad dat

 

en dit is duidelijk onbegrensd voor  .

NatuurkundeBewerken

Ook in de natuurkunde treedt divergentie op. Het behandelen van divergente uitdrukkingen in de veldentheorie is de verwezenlijking van de theorie van renormalisatie en regularisatie.

TriviaBewerken

Een reeks die overduidelijk divergent lijkt, is :

 

De som kan natuurlijk nooit echt bepaald worden. Wel kan bij wijze van grapje het volgende 'bewezen' worden.

Eerst wordt de 'uitkomst' bepaald van  

Neemt men een even aantal termen, dan is de som 0; voor een oneven aantal is de som 1. Het lijkt dus redelijk om te stellen:

 

Bepaal nu:

 .

Er geldt:

 

dus

 

Noem nu:

 ,

dan

 .

Dus is:

 ,

oftewel

 .

Zie ookBewerken