De riccitensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de riccitensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte.

De riccitensor staat in het linker lid van de einstein-vergelijking.

Definitie

bewerken

Net als de metrische tensor is de riccitensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een pseudo-riemannvariëteit[1] De riccitensor is het spoor van de krommingstensor van Riemann over twee van de vier indices.

Meer precies, stel dat   een  -dimensionale pseudo-riemannvariëteit is. Noteer met   de raakbundel van   ter hoogte van  . Voor elk paar vectoren

 

in de raakruimte, wordt de riccitensor   gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van

 

gegeven door

 

met   de riemanntensor.

Concreter, gegeven een bepaald coördinatenstelsel, kunnen we dit in componenten uitschrijven als

 .

De coëfficiënten   worden dan in de einstein-sommatieconventie gegeven door

 .

De riccitensor is dus het spoor van de krommingstensor van Riemann. In termen van de christoffelsymbolen wordt de riccitensor gegeven door:

 ,

waarbij differentiëren met een komma wordt genoteerd: de toevoeging

 

is een verkorte notatie voor toepassing van   op de betreffende grootheid.

De ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:

 .

De dimensie van   is één gedeeld door de dimensie van de  -de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de  -de coördinaat.

Een variëteit met   noemen we ook wel riccivlak. In de relativiteitstheorie zijn riccivlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen voor de ruimtetijd.