Ricci-tensor

De ricci-tensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de gewone euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de ricci-tensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte.

Formele definitieBewerken

Net als de metrische tensor is de ricci-tensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een pseudo-riemann-variëteit[1] De ricci-tensor is het spoor van de riemann-tensor.

Meer precies, stel dat   een n-dimensionale pseudo-riemann-variëteit is. Noteer met   de raakbundel van M ter hoogte van p. Voor elk paar vectoren

 

in de rakende ruimte, wordt de ricci-tensor   gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van

 

gegeven door

 

met R de riemann-tensor.

Concreter, gegeven een bepaald coördinatensysteem, kunnen we dit in componenten uitschrijven als

 .

De coëfficiënten   zijn dan (in einsteinnotatie) gegeven door

 .

De ricci-tensor is dus het spoor van de riemann-tensor. In termen van de christoffelsymbolen wordt de ricci-tensor gegeven door:

 

waarbij differentiëren met een komma wordt genoteerd: de toevoeging

 

is een verkorte notatie voor toepassing van   op de betreffende grootheid.

De ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:

 .

De dimensie van   is één gedeeld door de dimensie van de  'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de  'de coördinaat.

Een variëteit met   noemen we ook wel ricci-vlak. In relativiteitstheorie zijn ricci-vlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen van de ruimtetijd.

Zie ookBewerken