Ricci-tensor

De riccitensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de riccitensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte.

De riccitensor staat in het linker lid van de einstein-vergelijking.

Definitie

Net als de metrische tensor is de riccitensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een pseudo-riemannvariëteit De riccitensor is het spoor van de krommingstensor van Riemann over twee van de vier indices.

Meer precies, stel dat $(M,g)$ een $n$-dimensionale pseudo-riemannvariëteit is. Noteer met $T_{p}M$ de raakbundel van $M$ ter hoogte van $p$. Voor elk paar vectoren

$\xi ,\eta \in T_{p}M$

in de raakruimte, wordt de riccitensor $\mathrm {Ric} (\xi ,\eta )$ gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van

$T_{p}M\to T_{p}M$

gegeven door

$\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi$

met $R$ de riemanntensor.

Concreter, gegeven een bepaald coördinatenstelsel, kunnen we dit in componenten uitschrijven als

$\operatorname {Ric} =R_{ij}\ dx^{i}\otimes dx^{j}$.

De coëfficiënten $R_{ij}$ worden dan in de einstein-sommatieconventie gegeven door

$R_{ij}={R^{k}}_{ikj}$.

De riccitensor is dus het spoor van de krommingstensor van Riemann. In termen van de christoffelsymbolen wordt de riccitensor gegeven door:

$R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}_{,\rho }-\Gamma _{\rho \sigma ,\nu }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }$,

waarbij differentiëren met een komma wordt genoteerd: de toevoeging

$,\rho$

is een verkorte notatie voor toepassing van ${\frac {\partial }{\partial x^{\rho }}}$ op de betreffende grootheid.

De ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:

$R_{ij}=R_{ji}$.

De dimensie van $R_{\mu \nu }$ is één gedeeld door de dimensie van de $\mu '$-de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de $\nu '$-de coördinaat.

Een variëteit met $R_{ij}=0$ noemen we ook wel riccivlak. In de relativiteitstheorie zijn riccivlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen voor de ruimtetijd.

Voetnoten