Riemann-metriek

In de differentiaalmeetkunde vormen de riemann-metrieken de basis voor de bestudering van riemann-variëteiten in de riemann-meetkunde. Zulke variëteiten zijn voorzien van een riemann-metriek, een metriek gebaseerd op een inwendig product. Bewezen kan worden dat op elke differentieerbare variëteit een riemann-metriek bestaat.

De eerste introductie van het begrip werd in 1854 gegeven door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann. Zijn artikel over dit onderwerp werd echter pas na zijn dood in 1868 gepubliceerd. Nog in hetzelfde jaar publiceerde Hermann von Helmholtz soortgelijke resultaten.

DefinitieBewerken

Een riemann-metriek is een functie   die aan elk punt   in een differentieerbare variëteit   van dimensie   een inwendig product van de raakruimte   toevoegt, d.w.z. een positief definiete, symmetrische bilineaire vorm

 ,

die differentieerbaar van   afhangt, wat inhoudt dat voor alle differentieerbare vectorvelden   op  

 

een gladde functie   definieert

De functie   heet weliswaar een riemann-metriek, maar is geen metriek in de zin van een metrische ruimte, en wordt ook metrische tensor genoemd.


Zie ookBewerken