Raakruimte

De raakvector op in zowel als snelheidsvector van een kromme door als ook als raakruimte aan punt gedefinieerd

In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie is de raakruimte in een punt van een gekromde ruimte een vectorruimte die het klassieke begrip raaklijn op intrinsieke wijze (d.w.z. onafhankelijk van parametrisatie en inbedding) tot hogere dimensies generaliseert.

Klassieke constructieBewerken

Zij   een glad oppervlak, ingebed in de driedimensionale euclidische ruimte  . In ieder punt   bestaat een uniek raakvlak waarvan punten een tweedimensionale reële vectorruimte vormen met   als oorprong.

Algemener, zij   een  -dimensionale gladde variëteit, ingebed in de  -dimensionale euclidische ruimte   ( ). Door ieder punt   gaat een uniek  -dimensionaal hypervlak   van   met de eigenschap dat, voor een gegeven lokaal coördinatenstelsel (kaart) rond  , de afgeleiden van de coördinaatkrommen in   evenwijdig lopen met  . De ligging van   is onafhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel, maar hangt uiteraard wel af van  .

Men noteert   en noemt het raakruimte (ook: rakende ruimte) van   in  . De afgeleiden van de coördinaatkrommen vormen een basis voor  .

Intrinsieke definitieBewerken

Sinds Bernhard Riemann geven meetkundigen de voorkeur aan objecten die voor hun bestaan niet afhankelijk zijn van de gekozen coördinaten en inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte.

De raakruimte van een willekeurige gladde variëteit   in een punt   wordt gedefinieerd door de volgende equivalentierelatie op de verzameling van alle gladde krommen die door   gaan:

 
 

Twee krommen zijn equivalent als in een willekeurig coördinatenstelsel hun afgeleiden in   gelijk zijn. Men toont aan dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen coördinaten.

De aldus ontstane partitie vormt een reële vectorruimte door coördinaatsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging in een voldoende kleine omgeving van  , en we noemen haar de raakruimte in  . Zij   een kaart rond een punt  . De equivalentieklassen horend bij de coördinaatkrommen

 

vormen een basis voor  . Traditioneel worden dergelijke basisvectoren aangeduid met de notatie  

RaakbundelBewerken

De vereniging van alle raakruimten

 

kan op natuurlijke wijze op haar beurt worden uitgerust met de structuur van een  -dimensionale gladde variëteit. Met elke kaart van   wordt een kaart van   gebouwd door de eerste   coördinaten een punt van   de laten aanduiden, en de volgende   coördinaten een vector ten opzichte van de hierboven geschetste basis.

De variëteit   heet de raakbundel van  . Ze is het typevoorbeeld van het begrip vectorbundel. De afzonderlijke vectorruimten   zijn de vezels van  .

Een gladde afbeelding van (een deel van)   naar   die iedere   afbeeldt op een vector uit de overeenkomstige vezel  , noemen we een sectie van  , ook wel vectorveld of kortweg (in de natuurkunde, enigszins verwarrend) vector.

Coraakruimte en corakende bundelBewerken

Met iedere vectorruimte   associeert men de duale vectorruimte   die bestaat uit de lineaire afbeeldingen van   naar het scalairenlichaam  .

De coraakruimte van   in  , genoteerd  , bestaat uit de lineaire afbeeldingen van   naar  .

Met iedere basis   van een eindigdimensionale vectorruimte komt een natuurlijke basis   voor de duale vectorruimte overeen: de duale basisvector   beeldt de basisvector   af op 1, en alle andere basisvectoren op 0.

De duale basis van   die overeenkomt met de basis   van  , noteren we  .

De vereniging van alle coraakruimten in de verschillende punten van   heet de corakende bundel van   en wordt   genoteerd. Ook hij wordt op natuurlijke wijze een  -dimensionale variëteit (in feite een  -dimensionale vectorbundel over  ). Zijn secties heten covectorvelden of covectoren.

Rakende of geïnduceerde afbeeldingBewerken

Met een gladde afbeelding tussen gladde variëteiten   komt op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding tussen de raakruimten   overeen. Deze kan op twee gelijkwaardige manieren expliciet gedefinieerd worden:

  • Een vector   is per definitie een equivalentieklasse van krommen met dezelfde snelheid in  . Door samenstelling met   verkrijgen we krommen in  , en wegens de kettingregel hebben die allemaal dezelfde snelheid in  . Ze bepalen dus een unieke equivalentieklasse, dat wil zeggen een vector in  . Het is niet moeilijk na te rekenen dat dit verband lineair is.
  • Beschouw kaarten   in   resp.   in  . De natuurlijke basissen   en   bepalen lineaire isomorfismen enerzijds tussen   en  , anderzijds tussen   en  . Uitgedrukt in de overeenkomstige coördinatenstelsels komt met   een afbeelding   van   naar  , dus haar afgeleide   is een lineaire afbeelding van   naar  . De rakende afbeelding wordt dan gedefinieerd als  .

Zie ookBewerken