Bolcoördinaten

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt in drie dimensies de afstand van het punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. De beide andere coördinaten zijn hoeken. De tweede coördinaat is de hoek die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval . De derde coördinaat is de hoek die de projectie van OP in het xy-vlak maakt met de positieve x-as. Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de de natuurkunde. In een wiskundige context worden vaak de rollen van en omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van het symbool gebruikt.

Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte van de voerstraal en twee hoeken, en

Het verband tussen de Cartesische coördinaten en de bolcoördinaten wordt gegeven door:

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor doet de hoek niet ter zake en geldt . Evenzo: voor geldt . Voor doen de hoeken en niet ter zake en geldt .

JacobiaanBewerken

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

 

Omgekeerd

 

CoördinatentransformatieBewerken

Een functie   van de drie veranderlijken  ,   en   krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

 

Een vectorveld  , met in het punt   de componenten

  en  ,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal   en loodrecht daarop in een component in de "richting" van   en in de "richting" van  , de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door   in het vlak door   en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door   en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

 
 
 

Omgekeerd:

 
 
 

VoorbeeldBewerken

De functie   gedefinieerd door:

 

heeft in bolcoördinaten de vorm:

 
 

Het vectorveld   gedefinieerd door:

 
 
 

heeft in bolcoördinaten de vorm:

 
 
 
 
 

Coördinaten op een boloppervlakBewerken

Een boloppervlak met straal   heeft in bolcoördinaten de vergelijking   indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde   wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten   en de bolcoördinaten   op het boloppervlak met straal   wordt dan dus gegeven door: (merk op dat deze formules niet overeen komen met de tekening op deze pagina hierboven; dit komt omdat er een andere keuze is gemaakt voor de hoeken)

 
 
 

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor   breedte, voor   lengte, voor het punt   noordpool, voor het punt   zuidpool, en voor het vlak   basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met   aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting  .

Geografische coördinaten corresponderen met een x-, y- en z-as volgens de rechterhandregel, met een positieve x-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve y-as in 0° NB 90° OL en een positieve z-as in 90° NB. Als oosterlengte positief gerekend wordt correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve z-richting.

Zie ookBewerken