Orthonormale basis

In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte met inwendig product, bestaande uit de vectoren , een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke en :

als

Anders geformuleerd: (de Kronecker-delta).

In deze relaties is het inwendige product, dat ook wel genoteerd wordt met .


Omgekeerd geldt dat als een basis van een vectorruimte per definitie als orthonormaal wordt beschouwd, dit een inwendig product induceert waarvoor

,

namelijk het standaardinproduct

met en de coördinaten ten opzichte van de basis.

VoorbeeldenBewerken

 
De vectoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte
  •   is een orthonormale basis van de vectorruimte  . Dit gaat uit van het standaardinproduct als inwendig product, of geldt per definitie, waaruit als inwendig product het standaardinproduct volgt. Heel algemeen is de standaardbasis   van de vectorruimte   orthonormaal.
  • Ook het stelsel   is een orthonormale basis van de vectorruimte  .
  • Het stelsel functies  , met   vormt een orthonormale basis van de vectorruimte van de periodieke functies met periode   en als inwendig product:
 
Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.

EigenschappenBewerken

De Gram-Schmidtmethode geeft een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.

De kolommen (en rijen) van een  -dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor  .

ToepassingBewerken

Elke vector van een vectorruimte met basis   heeft unieke coördinaten ten opzichte van die basis. Indien de basis daarenboven orthonormaal is, kunnen die coördinaten afzonderlijk berekend worden door middel van het geldende inproduct. Men kan aantonen dat de  -de coördinaat van een vector   ten opzichte van de orthonormale basis   gelijk is aan het inproduct van   met de  -de basisvector: