Standaardinproduct

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het standaardinproduct of canonieke inproduct het inwendige product dat normaal in de reële en complexe vectorruimte wordt gebruikt. Afstand of lengte en hoek kunnen met behulp van het standaardinproduct worden gedefinieerd.

Definitie bewerken

Reëel standaardinproduct bewerken

Het standaardinproduct   van twee vectoren   is gedefinieerd als

 

Vat men   en   op als kolomvectoren:

 ,

dan kan het standaardinproduct als matrixproduct worden geschreven:

 

Complex standaardinproduct bewerken

Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren   bestaan twee vormen.

 

en

 .

De beide vormen verschillen alleen daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:

 .

Vat men   en   als kolomvectoren op:

 ,

dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:

 .

Eigenschappen bewerken

Het reële standaardinproduct heeft de eigenschap dat voor iedere reële vierkante matrix   van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:

 .

Voor het complexe standaardinproduct geldt een soortgelijke de eigenschap, namelijk dat voor iedere complexe vierkante matrix   van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:

 .

Afgeleide begrippen bewerken

Norm bewerken

De norm van een reële of complexe vector   die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:

 .

Afstand bewerken

De euclidische afstand   tussen twee reële of complexe vectoren   en   van de euclidische norm wordt met behulp van de stelling van Pythagoras afgeleid:

 .

Hoek bewerken

De hoek   tussen twee reële vectoren   en   wordt met behulp van de cosinus van het reële standaardinproduct afgeleid:

 

Orthogonaliteit bewerken

Twee reële of complexe vectoren   en   zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:

 .

In het geval van dat twee reële vectoren   en   orthogonaal zijn, betekent dat dat  .

Vectorruimten bewerken

Het inwendige product van twee vectoren   en   in een  -dimensionale vectorruimte  , geschreven als lineaire combinatie van een orthonormale basis   van  :

  en  

is gelijk aan: