Vectorbundel

In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie, maar ook in verschillende deelgebieden van de natuurkunde, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van de notie "vector met een aangrijpingspunt". Voorbeelden uit de natuurkunde zijn: een kracht uitgeoefend op een stijf lichaam, de snelheid van een deeltje (of een planeet in het meerlichamenprobleem), en het impulsmoment van een voorwerp ten opzichte van een gegeven centrum (afhankelijk van de gekozen oriëntatie, dus eigenlijk een pseudovector).

Het begrip vectorbundel geeft hieraan een exacte definitie. Met elk punt van een (eventueel gekromde) ruimte wordt een vectorruimte geassocieerd, zodanig dat:

  • de verschillende vectorruimten die met de verschillende punten overeenkomen, onderling isomorf zijn;
  • de vectorruimten geassocieerd met nabijgelegen punten van gaan "geleidelijk" in elkaar over.

Deze laatste voorwaarde verdient een preciezere formulering. De definitie hieronder beschrijft gladde vectorbundels. In de laatste paragraaf sommen we enkele alternatieven op.

DefinitieBewerken

Zij   een  -dimensionale gladde variëteit. Een afbeelding   heet  -dimensionale vectorbundel over   als voldaan wordt aan de volgende voorwaarden:

  •   draagt de structuur van een gladde variëteit;
  •   is een gladde afbeelding tussen variëteiten;
  •   is een surjectie;
  • voor elk punt   draagt het invers beeld   de structuur van een  -dimensionale vectorruimte; deze vectorruimte wordt   genoteerd en heet vezel van   in  ; meestal gaat het over reële vectorruimten, we kunnen eventueel expliciet van een reële vectorbundel spreken;
  • in een voldoende kleine omgeving   van elk punt   is de bundel equivalent met een cartesisch product:
 

waarbij   niet alleen een diffeomorfisme is, maar bovendien in iedere afzonderlijke vezel een isomorfisme van vectorruimten, én commuteert met de projectie   op de eerste component van  :

 

De variëteit   maakt deel uit van de definitie. Als we de afbeelding   geïsoleerd beschouwen, heet ze soms de projectie-afbeelding van de bundel.

Een sectie of snede van de bundel is een afbeelding   die een rechtsinverse vormt voor de projectie:

 .

Secties heten ook wel vectorvelden of, enigszins onnauwkeurig, vectoren. Het aangrijpingspunt van een dergelijke vector   is het punt  . Indien de afbeelding   is, heet de snede glad.

VoorbeeldenBewerken

De definitie wordt gemotiveerd door het voorbeeld van de raakbundel   aan een gladde variëteit  . Als verzameling is   de vereniging van alle raakruimten  . De vezels zijn de raakruimten zelf. De equivalentie   wordt geconstrueerd aan de hand van een lokaal coördinatenstelsel (kaart) in de omgeving   van een gegeven punt  :

 

waar   de coördinaten zijn van de vector   ten opzichte van de canonieke basis   van de raakruimte.

Andere voorbeelden van bundels zijn de corakende bundel (gevormd met de duale vectorruimten van de raakruimten) en diverse tensorbundels (de vezels zijn gebaseerd op diverse soorten tensorproducten van de raakruimte en haar duale).

Als   een indompeling (of in het bijzonder, een inbedding) is van een gladde variëteit   in een Riemann-variëteit  , dan bestaat de normaalbundel van   uit de deelvectorruimten van   die loodrecht staan op  .

Afbeeldingen tussen vectorbundels (morfismen)Bewerken

Beschouw twee vectorbundels   en  . Een morfisme tussen deze vectorbundels is een gladde afbeelding   met de volgende twee eigenschappen:

  • behoud van vezels:  ;
  • voor elke   is de partiële afbeelding   lineair.

Het typevoorbeeld van een morfisme van vectorbundels is de rakende afbeelding aan een gladde afbeelding tussen variëteiten. Zij   glad, dan is de afbeelding

 

een morfisme. We verwijzen naar het artikel raakruimte voor de definitie van  .

Algemenere bundelsBewerken

Men kan ook vectorbundels definiëren over topologische variëteiten, dus waarvan de coördinatentransformaties continu maar niet noodzakelijk differentieerbaar zijn. In dat geval hoeft de projectie-afbeelding   eveneens slechts continu te zijn.

Analoog kan men over algebraïsche variëteiten, algebraïsche bundels definiëren.

In plaats van vectorruimten over het lichaam   of over een algemeen commutatief lichaam  , kan men de structuur van de vezels verzwakken tot modulen over een ring  .

Bij een algemene bundel wordt niet langer geëist dat de vezels modulen of vectorruimten zijn.

Een hoofdbundel is een gladde bundel waarbij de vezels de aanvullende structuur van een Lie-groep krijgen.