Normale verdeling

(Doorverwezen vanaf Standaardnormale verdeling)

De normale verdeling of gaussverdeling, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss, is een continue kansverdeling met twee parameters, de verwachtingswaarde en de standaardafwijking , waarvan de kansdichtheid wordt gegeven door de volgende Gaussische functie:

Normale verdeling
Kansdichtheid
Kansdichtheid van de normale verdeling
 standaardnormale verdeling
Verdelingsfunctie
Verdelingsfunctie van de normale verdeling
Kleuren komen overeen met de kansdichtheden hierboven
Parameters locatie (reëel)
gekwadrateerde schaal (reëel)
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Modus
Variantie
Scheefheid 0
Kurtosis 0
Entropie
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De kansdichtheid is symmetrisch rond , hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. Door de vorm wordt deze ook wel klokkromme of gausscurve genoemd.

De normale verdeling wordt wel genoteerd als -verdeling, wat wil zeggen dat het een normale verdeling is met verwachtingswaarde en variantie .

Zoals voor elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied precies gelijk aan 1:

De normale verdeling is een speciaal geval van een alfa-stabiele verdeling.

Standaardnormale verdeling

bewerken

Een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie 1, de  -verdeling, wordt een standaardnormale verdeling genoemd. De bijbehorende dichtheid is:

 

Zie ook: z-scores.

Eigenschappen

bewerken

Lineaire transformatie

bewerken

Als de toevalsvariabele    -verdeeld is, geldt voor willekeurige   en  :

 

Een specifiek resultaat van deze eigenschap is dat

 ,

dus standaardnormaal verdeeld is.

Lineaire combinatie

bewerken

Zijn twee toevalsvariabelen   en   normaal verdeeld en ongecorreleerd met respectievelijke parameters   en   en   en  , dan geldt:

 
 

In het algemeen geldt voor ongecorreleerde normaal verdeelde variabelen  , met   en  , dat elke lineaire combinatie hiervan ook normaal verdeeld is.

Voor willekeurige reële getallen   geldt dat

 

Vuistregel

bewerken
 
Relatie tussen afwijkingen van het midden en de standaardafwijking

Binnen een afstand van één standaardafwijking van de verwachtingswaarde ligt ongeveer 68% van het oppervlak onder de grafiek van de kansdichtheid van de normale verdeling, ongeveer 95% binnen twee standaardafwijkingen afstand van de verwachtingswaarde. De curve gaat daarna vrij snel naar nul: ongeveer 99,99% van het oppervlak ligt binnen vier standaardafwijkingen afstand van het midden. Afwijkingen van meer dan vier standaardafwijkingen van het midden zijn dus zeer zeldzaam.

Voorkomen

bewerken

Veel verschijnselen zijn benaderend te beschrijven met behulp van een normale verdeling. Het gaat dan om verschijnselen waarvan de verdeling symmetrisch geconcentreerd is rond een centrale waarde en afwijkingen van deze centrale waarde steeds onwaarschijnlijker worden naarmate de afwijking groter is. Soms is het verschijnsel de optelsom van een groot aantal effecten die elkaar niet beïnvloeden. De centrale limietstelling geeft in zo'n geval de voorwaarden waaronder het totaal normaal verdeeld zal zijn.

Voor veel natuurlijk voorkomende verschijnselen is een normale verdeling een goede benadering van de frequentie waarmee bepaalde meetwaarden kunnen voorkomen; daarom wordt vaak een normale verdeling verondersteld voor de onderliggende (populatie)verdeling.

Het was Adolphe Quetelet die voor het eerst het verband zag tussen de normale verdeling en natuurkundige verschijnselen. Hij vond deze relatie tijdens zijn onderzoek naar een wiskundige formule om de gezondheid van de soldaten te bepalen. Deze relatie is intussen bekend als de Queteletindex, en ook als de body mass index BMI. Quetelet was een leerling van Gauss en na zijn bezoek in Göttingen onderhielden zij een correspondentie, die nog altijd bewaard is gebleven.

Andere voorbeelden van grootheden die als normaal verdeeld beschouwd kunnen worden, zijn:

  • de maximumtemperatuur op 5 augustus in De Bilt, gemeten over verschillende jaren
  • de afwijking van klokken van één bepaald merk in seconden per dag
  • de intelligentie van een grote groep proefpersonen van dezelfde leeftijd

Bij medische laboratoriumtests wordt dikwijls aangenomen dat de bij gezonde proefpersonen gevonden waarden een normale verdeling vertonen. De waarden binnen een afstand van twee keer de standaardafwijking van het midden worden dan "normaal" genoemd. Volgens deze definitie wordt bij 5% van de gezonde mensen een abnormale waarde gevonden.

De normale verdeling is niet altijd een goede benadering. Zo zijn andere verdelingen beter als er sprake is van exponentiële groei, zoals het geval is bij onder meer inkomen, prijzen en bevolkingsomvang waarbij er een scheefheid naar rechts is. Verdelingen als de lognormale verdeling of de paretoverdeling kunnen dan een betere benadering geven.

Parameter schatting

bewerken

De parameters   en   van deze normale verdeling kunnen dan benaderd worden (geschat) met respectievelijk het steekproefgemiddelde   en de steekproefvariantie  . Zo kan men een schatting maken van de gemiddelde lengte van Nederlandse mannen en de standaardafwijking van de verdeling door een steekproef van een honderdtal mannen te nemen en daarvan de lengte te meten. De wiskunde vertelt ook hoe nauwkeurig in zo'n geval   een benadering is voor  , en hoe nauwkeurig   een benadering is voor  .

Normale benadering

bewerken
 
 normale verdeling
 binomiale verdeling
Normale verdeling als benadering van een binomiale verdeling

In een groot aantal gevallen kan een verdeling benaderd worden door een geschikt gekozen normale verdeling. In het bijzonder in die gevallen waarin de centrale limietstelling van praktische toepassing is. Zo kan een binomiale verdeling met parameters   en  , voor grotere waarden van   en gemiddelde waarden voor  , benaderd worden door een normale verdeling met dezelfde verwachting en variantie als de binomiale, dus door een  -verdeling. In de figuur is dit geschetst voor   en  . Als   een stochastische variabele is met de genoemde binomiale verdeling, kunnen we   praktisch als  -verdeeld beschouwen. Dan is:

 .

Hierin is    -verdeeld,   standaardnormaal en   de standaardnormale verdelingsfunctie.

Continuïteitscorrectie

De benadering is beter als de zogenaamde continuïteitscorrectie wordt toegepast. Deze berust op de vaststelling dat  , maar de bijbehorende benaderingen   en   enigszins verschillen. Als betere benadering neemt men:  .

Bivariate normale verdeling

bewerken

De eendimensionale normale verdeling heeft equivalenten in meer dimensies; deze worden multivariate normale verdelingen genoemd. De bivariate (dat wil zeggen tweedimensionale) normale verdeling wordt bepaald door vijf parameters:   en  , die respectievelijk de verwachting en variantie in de eerste en tweede dimensie en de correlatiecoëfficiënt tussen beide dimensies voorstellen. Men noteert hiervoor wel:  -verdeling. De kansdichtheid is:

 

De structuur van de formule is beter te zien voor de  -verdeling. Dan is de kansdichtheid:

 

Zie ook multivariate normale verdeling.

Zie ook

bewerken

Andere verdelingen

bewerken
  • De normale verdeling is geen goede beschrijving voor een populatie die is opgebouwd uit verschillende subpopulaties, waardoor soms een meertoppige verdeling ontstaat.
  • Ook is de normale verdeling geen goede beschrijving voor verdelingen waarbij een klein aantal heel grote afwijkingen mogelijk is. Men spreekt dan van 'dikke staarten'. In dat geval kan soms de t-verdeling gebruikt worden.
  • Als de toevariabele   normaal verdeeld is, heeft   een lognormale verdeling.

Websites

bewerken
Zie de categorie Normal distribution van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.