Hypergeometrische verdeling

In de kansrekening is de hypergeometrische kansverdeling een discrete kansverdeling die de kansen geeft op de aantallen successen bij een vast aantal trekkingen zonder terugleggen uit een eindige populatie. Het is het analogon van de binomiale verdeling als er sprake is van een steekproef zonder terugleggen. De kansen op succes en mislukking veranderen dus per trekking en zijn afhankelijk van vorige uitkomsten.

Definitie

bewerken

In een serie van   aselecte trekkingen zonder terugleggen uit een eindige populatie ter grootte  , waarin   successen en   mislukkingen zijn, wordt de kans op   successen voor   gegeven door:

 .

Als de stochastische variabele   het aantal successen bij de   trekkingen voorstelt, geldt:

 

en zegt men dat   hypergeometrisch verdeeld is met parameters   en  .

Verwachtingswaarde en variantie

bewerken

De verwachtingswaarde van een hypergeometrisch verdeelde stochastische variable   is:

 

De variantie is:

 

De variantie verschilt een factor

 

van de variantie in het geval van trekken met terugleggen of bij trekken uit een oneindige populatie met succeskans  . De wortel uit deze factor

 

heet eindige populatie-correctiefactor of correctiefactor voor eindige populatie.

Voorbeeld

bewerken

Stel in een bak bevinden zich 5 blauwe en 4 rode ballen. Er worden willekeurig 3 ballen uit de bak gepakt. Hoe groot is de kans dat er (precies) twee blauwe ballen bij die 3 zijn?

In dit geval is   en  . De kans op   blauwe ballen is dus:

 

Op eenzelfde manier kunnen de kansen op 0 blauwe ballen (4.8%); 1 blauwe bal (35.7%) en 3 blauwe ballen (11.9%) bepaald worden.

bewerken