Multivariate normale verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de multivariate normale verdeling een speciale kansverdeling: het is het analogon van de normale verdeling in meer dimensies. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.

Multivariate normaal
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters reële vector)
positief definiete reële n×n-matrix
Drager
Kansdichtheid
Verwachtingswaarde
Mediaan
Modus
Variantie
Scheefheid 0
Kurtosis 0
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

DefinitieBewerken

De stochastische vector   heeft een multivariate normale verdeling met verwachting   en covariantiematrix de positief definiete n×n-matrix  , als de kansdichtheid gegeven is door:

 
 

Daarin is   de determinant van  .

NotatieBewerken

Men noteert kort:  .

Net als bij de univariate normale verdeling, is de verdelingsfunctie niet expliciet in gesloten vorm te schrijven.

Speciaal geval: univariate normale verdelingBewerken

In het geval   is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone normale verdeling.

Speciaal geval: bivariate normale verdelingBewerken

Als   heet de verdeling ook bivariate normale verdeling. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als

 ,

waarin   de correlatiecoëfficiënt tussen   en   is.

EigenschappenBewerken

Als  , geldt:

  • Elke willekeurige lineaire combinatie   heeft een (univariate) normale verdeling, met verwachting   en variantie  .
  • De karakteristieke functie en momentgenererende functie zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.

GaussprocesBewerken

Een Gaussproces is een stochastisch proces waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de brownse beweging en het Ornstein-Uhlenbeckproces.