Hyperexponentiële verdeling

De hyperexponentiële verdeling is een continue kansverdeling.

Definitie

Een stochastische variabele $X$ heet hyperexponentieel verdeeld, als $X$ met kans $p_{i},\ i=1,\ldots ,n$ verdeeld is als een toevalsvariabele $X_{i}$ die exponentieel verdeeld is met parameter $\lambda _{i}$.

De kansdichtheid is voor $x>0$ gegeven door:

$f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}$

Eigenschappen

De verwachting van een hyperexponentieel verdeelde toevalsvariabele $X$ is:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }x\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\operatorname {E} (X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}$

De momentgenererende functie van de hyperexponentiële verdeling is:

$M_{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{tX}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,\mathrm {d} x=$

$=\sum _{i=1}^{n}p_{i}M_{X_{i}}(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}\right)$

Kansverdelingen