Hoofdmenu openen
Grafiek met 3 curves. Rood lineaire groei, blauw kubische (derdemachts) groei en groen exponentiële groei

Exponentiële groei is een toename evenredig aan de eigen omvang. Iedere grootheid die elk jaar (of elke maand, dag, uur) met hetzelfde percentage groeit, ondergaat een exponentiële groei. Zo is de groei van een populatie waarin het aantal geboortes per individu (of per echtpaar) constant blijft, evenredig met het aantal individuen, en dus exponentieel. Banktegoeden met een vast positief rentepercentage vertonen exponentiële groei, afgezien natuurlijk van af- of bijschrijvingen. Exponentiële daling is ook mogelijk, bijvoorbeeld bij afkoeling van een heet voorwerp tot de omgevingstemperatuur of radioactief verval.

Verkeerd gebruikBewerken

De term exponentiële groei wordt soms verkeerd gebruikt als alleen een snelle groei bedoeld wordt.

Wiskundige beschrijvingBewerken

Als   een grootheid is die exponentieel groeit in de tijd   geldt per definitie dat de groeisnelheid   evenredig is met de momentane waarde, dus voldoet aan de differentiaalvergelijking:

 

Hierin is   de evenredigheidsconstante die altijd positief is. Als   is, wordt gesproken van exponentiële afname, zoals bij de demping van trillingen en bij radioactief verval.

De oplossing van de differentiaalvergelijking is de exponentiële functie

 ,

waarin de constante   wordt bepaald door de oorspronkelijk omvang van de populatie.

Op de lange termijn zal een exponentiële groei elke vorm van lineaire groei overschrijden. Dit is ook de basis van de theorie van de overbevolking van het Malthusianisme. Een exponentiële groei zal zelfs sneller gaan dan elke groei volgens een polynoom. In wiskundige termen geldt voor elke waarde van  

 

Er bestaan ook groeimodellen die op de lange termijn langzamer zijn dan de exponentiële groei, maar sneller dan de lineaire groei. Ook zijn er groeiscenario’s denkbaar die sneller zijn dan de exponentiële.

Groeifactor en groeipercentageBewerken

De vergelijking voor exponentiële groei kan ook geschreven worden als:

 

met groeifactor  

Als   (positieve  ) is er sprake van exponentiële groei; als   (negatieve  ) is er sprake van exponentieel verval.

De groeifactor hangt nauw samen met het groeipercentage:   Bij exponentiële groei neemt   met   per tijdseenheid toe. Bij exponentiële afname neemt   met   per tijdseenheid af, of anders gezegd, neem   met  per tijdseenheid toe.

De bovenstaande evenredigheidsfactor   is de relatieve groeifactor, oftewel de relatieve groeisnelheid. Deze is immers het quotiënt van de momentane snelheid waarmee   groeit en de momentane waarde van  

 

Verwarrend is dat deze relatieve groeifactor ook weleens wordt uitgedrukt in een percentage. Echter, alleen kleine relatieve groeifactoren, uitgedrukt als percentage, zijn bij benadering gelijk aan het groeipercentage. Dat blijkt uit:

 
Opmerking
net zoals de exponent   van   dimensieloos is, moet de exponent van de groeifactor   dimensieloos zijn. Omdat [T] de dimensie is van   moeten we daarom   lezen als   waarbij de dimensie van de 1 ook [T] is. Dit is ook te begrijpen als men zich realiseert dat   de groei per eenheid van tijd is.

RekenvoorbeeldBewerken

Van een fictieve populatie zijn van vijf achtereenvolgende jaren de relatieve groeisnelheden gegeven. Voor elk jaar wordt daaruit de groeifactor en het groeipercentage berekend. Met name voor het jaar 1969 bestaat er een duidelijk verschil tussen de relatieve groeisnelheid als percentage en het groeipercentage!

Jaar 1965 1966 1967 1968 1969
Relatieve groeisnelheid per jaar 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20
Relatieve groeisnelheid per jaar als % 1,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%
Groeifactor per jaar 1,010 1,051 1,105 1,162 1,221
Groeipercentage per jaar 1,01 5,13 10,52 16,18 22,14

Een voordeel van het werken met relatieve groeisnelheden is dat de gemiddelde relatieve groeisnelheid gelijk is aan het gewone (rekenkundige) gemiddelde van de relatieve groeisnelheden. Hoewel het in het algemeen is af te raden om met percentages te rekenen, kan dat in dit voorbeeld zonder probleem. Het gemiddelde percentage is 10,20% en dat is de gemiddelde relatieve groeisnelheid, uitgedrukt als percentage. Zie de volgende tabel.

Resultaten
Product van de groeifactoren over 5 jaar 1,665
Groeipercentage over 5 jaar 66,53
Gemiddelde groeifactor per jaar 1,107
Gemiddeld groeipercentage per jaar 10,74
- -
Gemiddelde relatieve groeisnelheid per jaar 0,1020
Gemiddelde relatieve groeisnelheid per jaar als % 10,20%

Merk op, dat de relatieve groeisnelheid per jaar en het groeipercentage duidelijk verschillen. Hier wordt dat verschil vooral veroorzaakt door de betrekkelijk grote percentages in de laatste jaren 1968 en 1969.

Verandering van grondtalBewerken

In veel toepassingen werkt men liever met een ander grondtal dan het grondtal   In een context waar de verdubbelingstijd een rol speelt (  positief), gebruikt men bij voorkeur het grondtal 2. In bijvoorbeeld de stralingsfysica, waar sprake is van exponentieel verval (  negatief), en waar halveringstijd een belangrijke rol speelt, maakt men veel gebruik van het grondtal ½. In dat vakgebied berekent men de halveringsdikte van materialen voor de afscherming van gamma- en röntgenstraling, waarbij ook de voorkeur uitgaat naar het grondtal 1/2. In geluidstoepassingen geeft men weer de voorkeur aan het grondtal 10.

Is   het gewenste grondtal, dan kunnen we stellen   voor een zekere waarde van   die uit te drukken is in  

 .

De oplossing van de differentiaalvergelijking is nu te formuleren als:

 

Heeft men voorkeur voor het gebruik van 2 als grondtal, dan berekent men de verdubbelingstijd   uit   en kan men de oplossing van de differentiaalvergelijking formuleren als

 

Exponentieel verval (negatieve  ) kan men op overeenkomstige wijze uitdrukken in de halveringstijd  

 

Voorbeelden van exponentiële groeiBewerken

  • Investeren/sparen/lenen. Een constant rendement en een constante voet van samengestelde rente zonder bijstorten en zonder opnemen/bijlenen/aflossen, waarbij ook geen rente wordt ontvangen/betaald, betekent exponentiële groei van het vermogen.
  • Biologie
    • Bacteriën in een kweekschaal zullen exponentieel groeien, totdat het beschikbare voedsel is uitgeput.
    • Een nieuw virus (zoals SARS bijvoorbeeld) zal zich exponentieel uitbreiden, omdat elke persoon een veelvoud van nieuwe personen kan infecteren. Dit gaat door, totdat een groot deel van de populatie is besmet.
    • De menselijke bevolking onder bepaalde omstandigheden.
  • Natuurkunde
    • Een kernreactie zoals in een kernwapen. Elk uraniumatoom dat splijt produceert neutronen, die elk worden geabsorbeerd door naburige uranium atomen, die op hun beurt gaan splijten. Dit kan in de hand gehouden worden in een kernreactor door het grootste deel van de neutronen af te vangen.
    • Een ongedempte trilling met een constante aandrijvingskracht zal een exponentieel toenemende amplitudo vertonen.
    • Laden (en ontladen) van een condensator.
    • Opwarmen (of koelen)   waarin   de temperatuur,   de tijd en   en   constanten zijn.
    • Radioactief verval. De hoeveelheid van de radioactieve stof neemt in de tijd af als   met   de vervaltijd.
  • Computers: De wet van Moore stelt dat de rekenkracht van processoren een exponentiële groei vertoont.

Grafische weergaveBewerken

Als een exponentiële groei wordt weergegeven met een logaritmische schaal verschijnt een rechte lijn, waarvan de helling overeenkomt met de waarde van de exponent.

Zie ookBewerken