Chi-kwadraatverdeling

De chi-kwadraatverdeling of χ2-verdeling is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van de steekproefvariantie van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de som van de kwadraten van onderling onafhankelijke standaard-normaal verdeelde variabelen , dus van:

chi-kwadraatverdeling
Kansdichtheid
Kansverdeling voor verschillende k's
Verdelingsfunctie
Chi-square distributionCDF.png
Parameters vrijheidsgraden
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan bij benadering
Modus als
Variantie
Scheefheid
Kurtosis
Entropie
Moment-
genererende functie
voor
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De parameter wordt het aantal vrijheidsgraden genoemd. De chi-kwadraatverdeling is een speciaal geval van de gamma-verdeling.

KansdichtheidBewerken

De kansdichtheid   van de chi-kwadraatverdeling met   vrijheidsgraden wordt voor   gegeven door

 

De verdelingsfunctie is:

 
 

Daarin is   de onvolledige gammafunctie.

EigenschappenBewerken

De verwachtingswaarde van de chi-kwadraatverdeling met   vrijheidsgraden is juist gelijk aan   en de variantie is  .

ToepassingBewerken

Voor de (gebruikelijke) steekproefvariantie

 

van een aselecte steekproef van omvang   uit een  -verdeling geldt:

 

Dit is geen bijzonderheid, want de chi-kwadraatverdeling is juist ontwikkeld als de verdeling van deze grootheid. We kunnen dit enigszins plausibel maken door te schrijven:

 

waarin alle  's standaardnormaal verdeeld zijn. Nu kan bewezen worden dat   en   onderling onafhankelijk zijn, en dus ook   en  . Aangezien:

  en  ,

volgt het gestelde.

Afleiding van de dichtheidBewerken

De dichtheid van de toevalsvariabele  , waarin   onderling onafhankelijk en standaardnormaal verdeeld zijn, volgt uit de simultane dichtheid van  . Deze simultane dichtheid is het  -voudige product van de standaardnormale dichtheid:

 

Voor de gezochte dichtheid geldt:

 

met  

In de limiet is die som in de e-macht gelijk aan  , en daarom kan de e-macht buiten de integraal en voor de limiet gehaald worden.

De resterende integraal

 

is het volume van de bolschil tussen de bol met straal   en de bol met straal  .

 

stelt het volume voor van de  -dimensionale bol met straal  .

Dus is:

 

en na invullen in de uitdrukking voor de gezochte dichtheid volgt: