Momentgenererende functie

In de kansrekening en de statistiek is de momentgenererende functie van een stochastische variabele een functie waarmee, mits deze gedefinieerd is, de momenten van bepaald kunnen worden. De momentgenererende functie geeft daarmee een alternatieve mogelijkheid om de kansverdeling van te analyseren. Anders dan de karakteristieke functie, die altijd bestaat en die nauw verwant is aan de momentgenerende functie, is deze laatste niet voor elke gedefinieerd.

DefinitieBewerken

De momentgenererende functie van de stochastische variabele   is de functie die voor reële   gegeven wordt door:

 

mits deze verwachtingswaarde bestaat. De momentgenererende functie kan dan berekend worden als de Riemann-Stieltjes-integraal:

 

waarin   de verdelingsfunctie van   is.

Er geldt dus:

 

waarin   het  -de moment van   is. De momentgenererende functie is daarmee de voortbrengende functie van de rij  

Als de momentgenererende functie bestaat in een interval rond  , genereert de momentgenererende functie de momenten van   als volgt:

 

VoorbeeldenBewerken

Normale verdelingBewerken

Voor de normale verdeling met parameters   en   is de momentgenererende functie:

 

Exponentiële verdelingBewerken

Voor de exponentiële verdeling met parameter λ is de momentgenererende functie:

 


Voor een rij onderling onafhankelijke (en niet noodzakelijk identiek verdeelde) toevalsgrootheden  , wordt de momentgenererende functie van de gewogen som

 

waar de   constanten zijn, gegeven door

 


Verwant met de momentgenererende functie zijn enkele andere integraaltransformaties die voorkomen in de kansrekening, zoals de karakteristieke functie en de kansgenererende functie.

De cumulantgenererende functie is de logaritme van de momentgenererende functie.

Verband met LaplacetransformatieBewerken

Als de kansdichtheid   van   bestaat, is

 

de tweezijdige Laplacegetransformeerde van  .