Exponentiële verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de exponentiële verdeling een continue verdeling. De exponentiële verdelingen worden vaak gebruikt voor het modelleren van de tijd tussen twee gebeurtenissen die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen. De exponentiële verdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

Exponentiële verdeling
Kansdichtheid
Kansdichtheidsfunctie
Verdelingsfunctie
Cumulatieve distributiefunctie
Parameters ratio of inverse schaal (reëel)
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Modus
Variantie
Scheefheid
Kurtosis
Entropie
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

DefinitieBewerken

De kansdichtheid   van een exponentiële verdeling wordt gegeven door:

 

waar   de parameter van de verdeling is, die vaak een snelheidsparameter of intensiteitsparameter is. De verdeling wordt gedragen door het interval [0,∞). De verdeling wordt vanwege de negatieve exponent, ook wel negatief-exponentiële verdeling genoemd. Het is het continue analoog van de geometrische verdeling.

De verdelingsfunctie wordt gegeven door

 

Alternatieve parameterBewerken

In plaats van de bovengenoemde parameter  , wordt ook wel de parameter   gebruikt. De kansdichtheid heeft dan de vorm:

 

De parameter   is het omgekeerde van de eerder genoemde snelheidsparameter  , en stelt een levensduurparameter voor. Als een toevalsvariabele   de levensduur van een biologisch of mechanisch systeem voorstelt en   is exponentieel verdeeld met parameter  , dan is  , dus de verwachte levensduur van het systeem bedraagt   tijdseenheden.

GeheugenloosheidBewerken

De exponentiële verdeling heeft als merkwaardige eigenschap geheugenloosheid. Als   een levensduur is die exponentieel verdeeld is, worden de overlevingskansen voor   gegeven door:

 .

We leiden nu eenvoudig af dat voor   geldt:

 .

Daarin volgt de eerste stap uit de constatering dat de gebeurtenis   een deel is van de gebeurtenis  ; anders gezegd: als  , is vanzelf ook  .