Karakteristieke functie (kansrekening)

kansrekening

De karakteristieke functie van een stochastische variabele is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële gegeven wordt door:

Er is een eeneenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van , dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

waarin de verdelingsfunctie van is.

Als de kansdichtheid heeft, gaat deze integraal over in:

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op of gedefinieerd is.

VoorbeeldenBewerken

Normale verdelingBewerken

Voor de normale verdeling met parameters   en   is de karakteristieke functie:

 

Exponentiële verdelingBewerken

Voor de exponentiële verdeling met parameter   is de karakteristieke functie:

 

EigenschappenBewerken

De karakteristieke functie is continu in de parameter  . Ze neemt steeds de waarde 1 aan in  .

Voor elk positief geheel getal  , elk stel van   reële getallen   en   complexe getallen   geldt

 

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie   de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen   en   geldt:

  •   (begrensd)
  •   (lineaire transformatie)
  •   (convolutie)

Als   een dichtheid   heeft:

  •   (omkeerformule)


De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.