Hoofdmenu openen

In de kansrekening en de statistiek is de binomiale verdeling een verdeling van het aantal successen in een reeks van onafhankelijke alternatieven alle met succeskans . Zo'n experiment wordt ook wel een Bernoulli-experiment genoemd.

Binomiale verdeling
Kansfunctie
Verdelingsfunctie
Parameters aantal pogingen (geheel)
kans op succes (reëel)
Drager
Kansfunctie
Verdelingsfunctie
met de onvolledige bètafunctie.
Verwachtingswaarde
Mediaan een uit
Modus
Variantie
Scheefheid
Kurtosis
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In het geval , komt de binomiale verdeling overeen met de Bernoulli-verdeling.

Inhoud

DefinitieBewerken

In een reeks van   Bernoulli-experimenten kunnen   successen voorkomen. Het aantal successen is een stochastische variabele  . Als   de kans op succes is, zegt men dat   binomiaal verdeeld is met parameters   en succeskans  , en noteert:

 ,

of ook

 .

De kans op precies   successen kan gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat elke reeks uitkomsten met   successen en   mislukkingen dezelfde kans   heeft. Omdat er   (zie binomiaalcoëfficiënt) verschillende reeksen zijn met precies   successen, wordt de kansfunctie voor   gegeven door:

 

VoorbeeldBewerken

We gooien 4 keer met een (eerlijke) dobbelsteen. We kunnen 0, 1, 2, 3 of 4 keer een 6 gooien. Het aantal keren dat we 6 gooien,  , is  -verdeeld. Hoe groot is de kans dat we van de 4 worpen 1 keer een 6 gooien? Hier is   en  , dus:

 

MomentenBewerken

De verwachtingswaarde en de variantie van een  -verdeelde stochastische variabele   laten zich het eenvoudigst bepalen door   te schrijven als de som van   onafhankelijke,  -verdeelde variabelen:  . Dan volgt:

 

en

 .

De bovenstaande relaties kunnen ook afgeleid worden met behulp van berekeningen soortgelijk aan de volgende:

 
 .

Uit deze betrekking kan het derde moment   bepaald worden, en daarmee de scheefheid van de verdeling.

Ook volgt daaruit direct:

 

en

 .

Uit deze laatste relatie volgt weer:

 ,

zodat

 .

BenaderingBewerken

Het is nogal bewerkelijk of bijna ondoenlijk om voor grote waarden van het aantal experimenten   de exacte kansen te berekenen. Dit is ook niet nodig omdat de binomiale verdeling voor grote   benaderd kan worden door een normale verdeling of door een Poissonverdeling.

Als vuistregel neemt men wel dat de  -verdeling voor   goed benaderd kan worden door een geschikte normale verdeling, mits de succeskans   niet te klein of te groot is. Als vuistregel geldt:   en  . Voor kleinere en grotere waarden van   is de binomiale verdeling te scheef om door de symmetrische normale verdeling goed benaderd te worden. Een benadering door een geschikte Poissonverdeling is dan mogelijk.

Normale benaderingBewerken

De stochastische variabele   is  -verdeeld. Voor toenemende   nadert de verdeling van   naar een normale verdeling, dus met verwachtingswaarde   en variantie  . Er geldt dus:

 .

Daarin is  -verdeeld en   standaardnormaal verdeeld.

Omdat de binomiale verdeling een discrete verdeling is, geldt

 ,

hetgeen leidt tot twee (en meer) mogelijke benaderingen, die voor niet al te grote waarden van   nogal verschillen. Om dit probleem te ondervangen past men wel de zogenaamde continuïteitscorrectie toe, en neemt als betere benadering een waarde tussen de genoemde uitersten, en wel:

 .

VoorbeeldBewerken

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere munt ten hoogste 10 keer kruis te gooien? Noem   het aantal keren kruis;   is dus  -verdeeld is. De gevraagde kans is:

 .

Omdat   en  , kan deze kans benaderd worden met behulp van een  -verdeling.

 .

Men kan ook berekenen:

 .

Dat zijn twee benaderingen die nogal uiteenlopen, maar waar de werkelijke waarde wel tussen ligt. Met de continuïteitscorrectie wordt de benadering:

 .

PoissonbenaderingBewerken

Omdat de  -verdeling voor toenemende   en constante waarde van   nadert naar de Poissonverdeling met parameter  , kan de  -verdeling voor grote waarden van   en waarden van   in de buurt van 0 benaderd worden door een geschikte Poissonverdeling. In dat geval geldt dus:  :

 .

Daarin is   Poissonverdeeld met parameter  .

Ook voor waarden van   in de buurt van 1 kan deze benadering gebruikt worden, zij het dat men niet de verdeling van   benadert, maar de verdeling van  , die  -verdeeld is, dus met een kleine waarde van  .

VoorbeeldBewerken

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen ten hoogste 2 keer 6 te gooien? Noem   het aantal keren 6. Dus   is  -verdeeld. De gevraagde kans is:

 .

Omdat   kan we deze kans benaderd worden met behulp van een Poissonverdeling met parameter 25/6.

 .

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen minstens 20 keer geen 6 te gooien? Noem   het aantal keren dat geen 6 gegooid wordt.   is dus  -verdeeld. De gevraagde kans is:

 .

Nu is   tamelijk groot, maar de vraag kan ook geformuleerd worden als de kans op ten hoogste 5 keer 6.

 .

En   is weer  -verdeeld, dus:

 .

Zie ookBewerken