Hoofdmenu openen

Benadering van een grootheid

(Doorverwezen vanaf Benadering)

Onder een benadering van een grootheid verstaat men in de exacte wetenschappen een getalswaarde die voor een bepaald praktisch doel voldoende dicht in de buurt ligt van de exacte waarde van die grootheid.

Zo zal het voor een timmerman in elke praktische situatie voldoende zijn de waarde 22/7 als benadering voor het getal π te gebruiken. Naast getalswaardige benaderingen voor grootheden, worden ook benaderingen gegeven van functies en gehele probleemstellingen.

Benaderingen worden gebruikt

  • wanneer de exacte waarde niet bekend is, bijvoorbeeld bij natuurkundige grootheden;
  • wanneer de exacte waarde niet in eindig veel cijfers is uit te drukken, zoals bij het getal π;
  • om een probleem te vereenvoudigen, zonder veel aan nauwkeurigheid in te boeten; zo is de eindige-elementenmethode een methode om een complex probleem te benaderen door een eenvoudiger, hanteerbaar probleem, waarvoor een oplossing gevonden kan worden die de oplossing van het oorspronkelijke probleem voldoende benadert.

Benaderingen worden gegeven van:

  • getallen (constanten);
  • formules (door een rekenmachine)
  • functies rond een functiewaarde;
  • functies op een interval;
  • algoritmes; enz.

Inhoud

GetallenBewerken

Een eenvoudige methode voor het benaderen van getallen is het afronden op een beperkt aantal decimalen, bijvoorbeeld:

 

ConstantenBewerken

Het getal   kan benaderd worden door  , maar ook door   en  .

Als benadering van de lichtsnelheid ziet men vaak:   299.792,458 km/s ≈ 300.000 km/s.

Een benadering van de valversnelling is   9,81 m/sec² ≈ 10 m/sec²

De meeste natuurkundige constanten werden experimenteel vastgesteld en zijn dus benaderingen van de werkelijkheid.

OpmerkingenBewerken

Het getal 0,999 is een benadering van 1, maar de repeterende breuk 0,9999... (met een oneindig aantal negens) is gelijk aan 1. Zo is ook 0,33333... (met oneindig veel drieën) gelijk aan 1/3.

FormulesBewerken

 
Resultaat van het iteratief benaderen van de wortel met de methode in de tekst. De zwarte punten zijn de opeenvolgende benaderingen met de nauwkeurige begingok 6, de blauwe punten zijn de benaderingen met de slechte begingok 2. De roze lijn is  .

Een rekenmachine berekent een uitkomst door hem iteratief te benaderen, zolang, tot de nauwkeurigheid buiten het bereik van de rekenmachine valt (zo'n 12 cijfers). Hier volgt als voorbeeld het berekenen van de wortel uit 40, gebruikmakend van de iteratie:

 

als aanvankelijke benadering, en

 

Daarmee volgt:

 
 
 

Vergelijk het resultaat met:

 

Dit is het iteratief oplossen van de wortel, iedere berekening komt dichter bij de wortel van 40. Deze iteratie is erg snel convergerend: al na een vijftal iteraties ligt de nauwkeurigheid buiten de nauwkeurigheid van een rekenmachine.

Algemener kunnen vergelijkingen benaderd numeriek opgelost worden, met bijvoorbeeld het Newton-Raphson algoritme, of de Regula Falsi.

Functies rond een getalwaardeBewerken

Veelgebruikte benaderingenBewerken

De paraxiale benadering van geometrische optica (o.a. de lenzenmakersvergelijking) steunt op volgende benaderingen:

 
 
 .

Overige veelgebruikte benaderingen:

 

Telkens enkel geldig voor   of x gaande naar 0 en   in radialen.

Al deze afrondingen zijn gebaseerd op de taylorreeksontwikkelingen en kunnen daarmee afgeleid worden.

TaylorreeksontwikkelingenBewerken

Iedere functie kan benaderd worden in de buurt van een functiewaarde, volgens de taylorreeksontwikkeling

 ,

of (uitgeschreven):

 .

Het meest wordt echter de lineaire benadering gebruikt: de eerste-ordeontwikkeling, oftewel de ontwikkeling die slechts de eerste afgeleide van de functie nodig heeft.

VoorbeeldBewerken

Hieronder wordt f(x) = sin(x) met een taylorreeks benaderd. De zwarte kromme is de "juiste", de donkeroranje stelt de taylorbenadering voor. Van links naar rechts: lineaire benadering (eerste orde), tweede orde en derde orde benadering. Er wordt benaderd rond   (in het midden van de figuur).

     

Ver weg van de functiewaarde rond welke benaderd werd verdwijnt de overeenstemming met de kromme. Hieronder de derde orde benadering, die erg afwijkt:

 

Nu is de benadering van  ,   voor x gaande naar nul aan te tonen (eerst de derde orde benadering, daarna de tweede orde benadering):

 
 

Functies in een intervalBewerken

SplinesBewerken

Een willekeurige kromme is te benaderen door een spline door in een interval door een aantal punten op die kromme te kiezen en dan de functiewaarden te verbinden. Zowel het kiezen van de punten als het verbinden kan op verschillende manieren gebeuren:

Kiezen puntenBewerken

Een eerste manier is het gelijk verdelen van het interval, bijvoorbeeld we hebben het interval [0,5], dan kiezen we punten 0, 1, 2, 3, 4 en 5. Uiteraard houdt deze verdeling geen rekening met de ingewikkeldheid van een functie - plaatsen waar veel verandert krijgen evenveel punten als intervallen waar niets gebeurd.

Keuze verbinden (interpolatie)Bewerken

De verkregen punten (functiewaarde van de hierboven geselecteerde punten) zijn lineair te verbinden (met een lijn). Ook is een kwadratische (kubische) interpolatie uit te voeren.

VoorbeeldBewerken

   

Links een functie (hier  ) met een aantal punten (gelijk verdeeld over [0,5]): 1, 2, 3, 4 en 5.

Rechts de functie en de benaderingen (kromme: blauw, lineair: rood, kwadratisch: groen, kubisch: bruin). De lineaire benadering is zwak, maar de eerstegraads spline (kwadratisch) en de hogere (kubisch, ...) benaderen de kromme een stuk beter. Dit uiteraard geholpen door de erg 'brave' continue kromme.

Voor minder continue functies moeten er meer punten of een hogeregraads spline genomen worden

FourierreeksBewerken

Een andere manier om een functie op een interval te benaderen is gebruikmaken van fourieranalyse en de functie te benaderen door een eindig aantal termen van de fourierreeks.

VoorbeeldBewerken

De volgende functie wordt benaderd door een eindig aantal termen van de fourierreeks.  


Dit zijn de gevonden benaderingen, de nauwkeurigheid is oplopend: 1 term, 3 termen, 10, 50 en 150 termen. Het discontinue sprongpunt wordt maar moeilijk benaderd want de functies waaruit de benadering is opgebouwd zijn continu. Dit verschijnsel wordt wel het Gibbsverschijnsel genoemd.

AlgoritmesBewerken

Sommige exacte algoritmes hebben een complexiteit die dermate hoog is (m.a.w. het programma duurt enorm lang), dat er heuristische algoritmes voor bedacht zijn, algoritmes die veel sneller werken, maar niet 100% juist zijn.

VoorbeeldBewerken

Voor het controleren of een getal A priem is, moeten alle onderliggende getallen (tot de wortel van A) gecontroleerd worden. Er bestaan snellere algoritmes, die echter niet waterdicht zijn: de Lucas-test en de pseudo-primality test. Samen uitgevoerd werken die veel sneller dan alle onderliggende getallen aflopen en toch zijn er geen getallen gekend die in deze test een verkeerd resultaat geven.

Eindige elementen-methodeBewerken

Voor het hoofdartikel, zie Eindige-elementenmethode

Voor complexe problemen waar geen analytische oplossing voor bestaat, kan de benadering door eindige elementen helpen. Deze manier

  • deelt het hoofdprobleem (staaf, geleider, buizenstelsel) op in honderden kleinere stukjes;
  • stelt voor ieder stukje de vergelijkingen op (bijvoorbeeld qua krachten, druk, elektrische lading);
  • lost het stelsel opgebouwd uit de vergelijkingen van de honderden stukjes op; en
  • toont de gebruiker de oplossing.

Een dergelijk programma enkel benadert. De gewenste nauwkeurigheid kan ingegeven worden (zie foto links). Uit het programma volgen enkel cijferwaarden (spanningen, ladingen, ed), die gevisualiseerd kunnen worden (zie onder).

VoorbeeldenBewerken

Zie ookBewerken