Bernoulli-verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de Bernoulli-verdeling, genoemd naar de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli, een discrete kansverdeling die een experiment beschrijft met als enige uitkomsten succes of mislukking. Zo'n experiment heet ook wel een alternatief. Als de stochastische variabele $X$ de waarde 1 aanneemt bij succes en 0 bij mislukking, heeft deze een Bernoulli-verdeling.

Bernoulli-verdeling
kansfunctie
Verdelingsfunctie
Parameters	$0<p<1$ (reëel) $q\equiv 1-p$
Drager	$k=\{0,1\}$
kansfunctie	${\begin{matrix}q&{\mbox{voor }}k=0\\p~~&{\mbox{voor }}k=1\end{matrix}}$
Verdelingsfunctie	${\begin{matrix}0&{\mbox{voor }}k<0\\q&{\mbox{voor }}0<k<1\\1&{\mbox{voor }}k>1\end{matrix}}$
Verwachtingswaarde	$p$
Mediaan	N/A
Modus	${\textrm {max}}(p,q)$
Variantie	$pq$
Scheefheid	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Kurtosis	${\frac {6p^{2}-6p+1}{pq}}$
Entropie	$-q\ln(q)-p\ln(p)$
Moment- genererende functie	$q+pe^{t}$
Karakteristieke functie	$q+pe^{it}$
Portaal    Wiskunde

Een Bernoulli-experiment kan onder andere worden gezien als het opgooien van een munt waarbij een van de zijden op succes duidt. De munt is dan zuiver als p een waarde van 0,5 heeft.

De kansfunctie is

$p_{X}(1)=P(X=1)=p$

$p_{X}(0)=P(X=0)=1-p$

hierin is $p$ de kans op succes.

De kansfunctie kan ook geschreven worden als:

$f(k;p)={\begin{cases}p&{\mbox{als }}k=1,\\1-p&{\mbox{als }}k=0,\\0&{\mbox{anders.}}\end{cases}}$

De verwachtingswaarde van een Bernoulli-toevalsvariabele $X$ is

$\mathrm {E} (X)=p$

en zijn variantie is

$\mathrm {var} (X)=p(1-p)$

De Bernoulli-verdeling is een lid van de exponentiële familie.

Verwante verdelingen

• Als $X_{1},\ldots ,X_{n}$ onafhankelijke, identiek verdeelde toevalsgrootheden zijn, alle Bernoulli-verdeeld met kans op succes p, dan is $Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$ binomiaal verdeeld met parameters $n$ en $p$.

• De Bernoulli-verdeling is ook het uitgangspunt voor de geometrische verdeling.

Kansverdelingen
Discrete verdelingen: Bernoulli · binomiaal · geometrisch · hypergeometrisch · negatief-binomiaal · Poisson · uniform · zèta Continue verdelingen: bèta · chi-kwadraat · Erlang · exponentieel · F-verdeling · gamma · Gumbel · hyperexponentieel · logistisch · lognormaal · normaal · Pareto · Rayleigh · student (t-) · uniform · Weibull Meerdimensionale verdelingen: multinomiaal · multivariaat normaal