Hoofdmenu openen

De Multivariabele analyse of multivariate analyse is de uitbreiding van de wiskundige analyse in één variabele naar de analyse in meer variabelen. In de functies die in de multivariabele analyse worden gedifferentieerd en geïntegreerd spelen meer dan één variabelen een rol.

Inhoud

Typische operatiesBewerken

Limieten en continuïteitBewerken

De analyse van limieten en continuïteit in meer dimensies levert veel tegenintuïtieve resultaten op, die niet optreden bij functies met één variabele. Er bestaan bijvoorbeeld scalaire functies van twee variabelen, die punten in hun domein hebben die, wanneer zij langs een willekeurige lijn worden benaderd een bepaalde limiet geven, maar die, wanneer benaderd langs een parabool, een andere limiet geven. De functie

 

nadert naar nul langs elke lijn door de oorsprong. Als de oorsprong echter langs een parabool   wordt benaderd, heeft deze een limiet van 1/2. Aangezien het kiezen van verschillende paden naar hetzelfde punt verschillende waarden voor de limiet oplevert, bestaat de limiet niet.

Partiële afgeleideBewerken

  Zie Partiële afgeleide voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een partiële afgeleide van een functie van meer variabelen is een afgeleide met betrekking tot één variabele, waarbij alle andere variabelen constant worden gehouden.

Men kan partiële afgeleiden combineren om zo ingewikkeldere uitdrukkingen van de afgeleide te construeren. De nabla-operator   wordt gebruikt om de gradiënt, divergentie en rotatie in termen van partiële afgeleiden te definiëren. Om de afgeleide als een functie tussen twee ruimten van willekeurige dimensie weer te geven kan men de Jacobi-matrix, een matrix van partiële afgeleiden, gebruiken. De afgeleide kan dus als een lineaire transformatie, die van punt tot punt in het domein van de functie varieert, worden opgevat.

Differentiaalvergelijkingen met partiële afgeleiden worden partiële differentiaalvergelijkingen genoemd. Deze vergelijkingen zijn over het algemeen moeilijker op te lossen dan gewone differentiaalvergelijkingen, die afgeleiden met betrekking tot slechts een variabele bevatten.

Meervoudige integratieBewerken

  Zie Meervoudige integraal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De meervoudige integraal breidt het idee van de integraal uit naar functies van meer variabelen. Dubbele en drievoudige integralen kunnen worden gebruikt om oppervlakten in het vlak en volumes van gebieden in de ruimte te berekenen. De stelling van Fubini garandeert dat een meervoudige integraal als een herhaalde integraal kan worden geëvalueerd.

De oppervlakte-integraal en de lijnintegraal worden gebruikt om over variëteiten, zoals oppervlakken en krommen te integreren.

Integraalstellingen in meer dimensiesBewerken

In de analyse met één variabele legt de hoofdstelling van de integraalrekening een verbinding tussen de afgeleide en de integraal. Dit verband tussen de afgeleide en de integraal wordt in de multivariabele analyse door een aantal integraalstellingen gegeven:

Deze vier stellingen kunnen tot een meer algemene stelling worden teruggevoerd, de algemene vorm van de stelling van Stokes, die van toepassing is op het integreren van differentiaalvormen over variëteiten.

Toepassingen en nutBewerken

Technieken uit de multivariabele analyse worden gebruikt om verschillende objecten in de natuurkunde te bestuderen. Het gaat dan om objecten die door middel van de wiskunde kunnen worden beschreven.

Domein en bereik Toepasbare technieken
Krommen     Lengten van krommen, lijnintegralen en kromming.
Oppervlakken     Oppervlakten van oppervlakken, oppervlakteintegralen, flux door oppervlakken en kromming.
Scalaire velden     Maxima en minima, Lagrange-multiplicatoren, richtingsafgeleiden.
Vectorvelden     Alle operaties uit de vectoranalyse, waaronder de gradiënt, divergentie en rotatie.

Multivariabele analyse kan worden toegepast om deterministische systemen met meer vrijheidsgraden te bestuderen. Functies met onafhankelijke variabelen die een op een corresponderen met elk van deze vrijheidsgraden, worden vaak gebruikt om deze systemen te modelleren. De multivariabele analyse biedt gereedschappen voor het karakteriseren van de systeemdynamica.

De multivariabele analyse wordt op veel gebieden binnen de techniek, de natuurwetenschappen en sociale wetenschappen gebruikt voor het modelleren en bestuderen van hoog-dimensionale systemen, die zich kenmerken door deterministisch gedrag. Stochastisch processen kunnen met behulp van een ander deelgebied van de wiskunde, zoals de stochastische analyse, worden bestudeerd. Wanneer er naar de samenhang tussen verscheidene afhankelijke stochastische variabelen wordt gezocht, kunnen zij simultaan worden geanalyseerd. Dit is het vakgebied van de multivariate statistiek.

WebsitesBewerken

BronvermeldingBewerken