Hoofdstelling van de integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening is een stelling uit de wiskunde, die het verband geeft tussen de begrippen afgeleide en integraal. Het is een centraal resultaat van de integraalrekening, of ruimer: de reële analyse, vandaar de naam. De stelling zegt dat differentiëren en integreren elkaars omgekeerde bewerkingen zijn. De concrete formulering en het bewijs hangt af van de gekozen definities en de gebruikte notie van integratie. In dit artikel wordt de meest elementaire notie van integreren gebruikt: de Riemannintegraal.

StellingBewerken

De hoofdstelling van de integraalrekening bestaat uit twee delen. Het eerste deel stelt dat de integraal van een functie een primitieve functie is en het tweede doet de omgekeerde uitspraak: een primitieve functie geeft de integraal van een functie, op een constante na. Primitieve functie, alleen primitieve, stamfunctie en onbepaalde integraal zijn hetzelfde.

Eerste deel

Zij   een reële continue functie op het interval  ; dan is voor alle   de functie  , gedefinieerd door

 

differentieerbaar en een primitieve functie van  , dat wil zeggen   voor alle  .

Tweede deel

Het tweede deel van de stelling maakt duidelijk dat men de integraal van een functie kan berekenen aan de hand van een primitieve functie:

Zij   een continue functie met primitieve functie   dan geldt:

 

Intuïtieve verklaringBewerken

 
Het blauw gearceerde gebied geeft de integraal   van de functie  , tussen   en  . Het rode gebied is gelijk aan  . Anderzijds is de oppervlakte ook ongeveer gelijk aan  . Voor kleine   moet dus  .

Het is mogelijk de bovenstaande stellingen te zien op een tekening. Stel dat men een functie   beschouwt. Men kan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval   noteren met   Deze functie is dan de integraal van  . Het verschil   is dan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval  . Indien   klein is, is die oppervlakte ongeveer gelijk aan   Bijgevolg is

 

Als   erg klein is, staat rechts ongeveer de afgeleide van   In woorden: de afgeleide van de integraal is dus de oorspronkelijke functie   Dat is de kern van de hoofdstelling van de integraalrekening.

OpmerkingBewerken

Merk wel op dat de primitieve functie van de afgeleide van een functie op een constante na kan verschillen van de oorspronkelijke functie. De primitieve functie is niet uniek: als   een primitieve functie is van   is   dat ook. Deze dubbelzinnigheid levert echter geen probleem op indien men het verschil neemt van twee waarden van een primitieve functie, zoals de uitdrukking in   hierboven.

 

BewijsBewerken

Om het eerste deel te bewijzen, moet men aantonen dat de afgeleide van   gegeven door   bestaat en gelijk is aan  

Eerste deel

Kies een vaste   en een voldoende kleine   zodat   Dan geldt

 

Beschouw het object in het rechterlid hierboven. Omwille van de middelwaardestelling bestaat er een reëel getal   tussen   en  , zodat

 

Indien men nu   laat gaan, moet   en dus ook   vanwege de continuïteit van   Bijgevolg is

 

Dit betekent precies dat de afgeleide van   ter hoogte van   bestaat en gelijk is aan  .

Tweede deel

Het bewijs van het tweede deel volgt uit het eerste. Stel dat men een primitieve functie   heeft. Omwille van het eerste deel is ook de functie  , gedefinieerd als

  met  

een primitieve functie. Bijgevolg zijn beiden, als primitieve functies van   op een constante na gelijk:   voor een bepaald getal   Dan is

 

Wat het tweede deel van de stelling bewijst.

IntegrerenBewerken

Volgens de hoofdstelling is het berekenen van de oppervlakte onder een functie   herleid tot het zoeken van een primitieve functie   van   Stel dat men de oppervlakte onder de functie   wil kennen, zeg tussen de punten   en  . De functie   is een voorbeeld van een primitieve functie van  .

 

Dankzij het verband met afleiden, kan men een aantal zeer nuttige rekenregels opstellen voor het uitvoeren van integralen. De productregel voor afleiden kan men met de hoofdstelling vertalen naar de techniek van partiële integratie. Op gelijkaardige manier kan men de kettingregel gebruiken om de substitutieregel van integralen aan te tonen. Deze technieken laten toe om van een zeer breed gamma van functies de integraal te bepalen. Het is niet zo, dat van alle functies een primitieve functie is te berekenen, van de meeste functies wel. Wanneer van een functie   de primitieve functie   niet is te berekenen, kan op deze manier dus niet het oppervlakte tussen   en de  -as worden berekend. Bij de meeste functies is wel een primitieve functie te berekenen.

Externe linkBewerken