Hoofdstelling van de integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening is een stelling uit de wiskunde die het verband geeft tussen de begrippen afgeleide en de integraal. Het is een centraal resultaat van de integraalrekening, of ruimer: de reële analyse, vandaar de naam. De stelling zegt dat differentiëren en integreren elkaars omgekeerde bewerkingen zijn. De concrete formulering en het bewijs hangt af van de gekozen definities en de gebruikte notie van integratie. In dit artikel wordt de meest elementaire notie van integreren gebruikt: de riemannintegraal.

StellingBewerken

De hoofdstelling van de integraalrekening bestaat uit twee delen. Het eerste deel stelt dat de integraal van een functie een primitieve functie is en het tweede doet de omgekeerde uitspraak: een primitieve functie geeft de integraal van een functie, op een constante na. Primitieve functie, primitieve, stamfunctie en onbepaalde integraal betekenen hetzelfde.

Eerste deel

Zij   een reële continue functie op het interval  , dan is voor alle   de functie  , gedefinieerd door

 

differentieerbaar en een primitieve functie van  , dat wil zeggen   voor alle  .

Tweede deel

Het tweede deel van de stelling maakt duidelijk dat men de integraal van een functie kan berekenen aan de hand van een primitieve functie:

Zij   een continue functie met primitieve functie  , dan geldt:

 

Intuïtieve verklaringBewerken

 
Het blauw gearceerde gebied geeft de integraal   van de functie  , tussen   en  . Het rode gebied is gelijk aan  . Anderzijds is de oppervlakte ook ongeveer gelijk aan  . Voor kleine   moet dus  

.

De bovenstaande uitspraken kunnen ook in een tekening aanschouwelijk gemaakt worden. De oppervlakte onder de grafiek van de functie  , boven het interval   is een functie   van  . Deze functie is dan de integraal van  . Het verschil   is de oppervlakte onder de grafiek boven het interval  . Voor kleine   is die oppervlakte ongeveer gelijk aan  . Bijgevolg is:

 

In de limiet voor   staat rechts de afgeleide van  . In woorden: de afgeleide van de integraal is dus de oorspronkelijke functie  .

OpmerkingBewerken

Merk wel op dat de primitieve functie van de afgeleide van een functie op een constante na kan verschillen van de oorspronkelijke functie. De primitieve functie is niet uniek: als   een primitieve functie is van  , is   voor elke constante   dat ook. Deze onbepaaldheid levert echter geen probleem op, indien men het verschil neemt van twee waarden van een primitieve functie, zoals de uitdrukking in   hierboven.

 

BewijsBewerken

Om het eerste deel te bewijzen, moet men aantonen dat de afgeleide van  . gegeven door

 ,

bestaat en gelijk is aan  .

Eerste deel

Kies een vaste   en een voldoende kleine  , zodat  . Dan geldt

 

Vanwege de middelwaardestelling bestaat er een reëel getal   tussen   en  , zodat voor het rechterlid geldt:

 

In de limiet voor  , moet   en dus ook   vanwege de continuïteit van   Bijgevolg is

 

Dit betekent precies dat de afgeleide van   ter hoogte van   bestaat en gelijk is aan  .

Tweede deel

Het bewijs van het tweede deel volgt uit het eerste. Stel dat men een primitieve functie   heeft. Uit het eerste deel volgt dat ook de functie   gedefinieerd als

 

een primitieve functie is. Bijgevolg zijn beide, als primitieve functies van  , op een constante na gelijk:   voor een bepaald getal  . Dan is

 

Wat het tweede deel van de stelling bewijst.

IntegrerenBewerken

Volgens de hoofdstelling is het berekenen van de oppervlakte onder een functie   herleid tot het zoeken van een primitieve functie   van  . Stel dat men de oppervlakte onder de functie   wil kennen, zeg tussen de punten   en  . De functie   is een primitieve functie van  .

 

Dankzij het verband met differentiëren kan men een aantal zeer nuttige rekenregels opstellen voor het uitvoeren van integralen. De productregel voor differentiëren kan men met de hoofdstelling vertalen naar de techniek van partiële integratie. Op analoge manier kan men de kettingregel gebruiken om de substitutieregel van integralen aan te tonen. Deze technieken maken het mogelijk van een zeer breed gamma aan functies de integraal te bepalen. Niet van elke functie is een primitieve functie te berekenen, maar van de meeste bekende functies wel.

Externe linkBewerken