De stelling van Fubini is een naar Guido Fubini genoemde wiskundige stelling over dubbelintegralen die zegt dat onder bepaalde voorwaarden de dubbelintegraal bepaald kan worden door herhaalde integratie.
Voor de riemannintegraal luidt de stelling:
Laat
f
:
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }
Dan is
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
:
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x:[c,d]\to \mathbb {R} }
∫
c
d
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
∫
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int \limits _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)}
Laat
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
(
Y
,
Σ
′
,
ν
)
{\displaystyle (Y,\Sigma ',\nu )}
maatruimten zijn en
f
:
X
×
Y
→
R
{\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }
meetbare functie die ten opzichte van de productmaat
λ
=
μ
⊗
ν
{\displaystyle \lambda =\mu \otimes \nu }
∫
X
×
Y
|
f
|
d
λ
<
∞
{\displaystyle \int \limits _{X\times Y}|f|\,\mathrm {d} \lambda <\infty }
of
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
bijna overal .
Dan zijn voor bijna alle
y
{\displaystyle y}
x
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle x\mapsto f(x,y)}
en voor bijna alle
x
{\displaystyle x}
y
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto f(x,y)}
integreerbaar respectievelijk niet-negatief, en er geldt:
x
↦
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
{\displaystyle x\mapsto \int \limits _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} \nu (y)}
y
↦
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle y\mapsto \int \limits _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} \mu (x)}
zijn ook integreerbaar respectievelijk niet-negatief, en
∫
X
×
Y
f
d
λ
=
∫
Y
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
d
ν
(
y
)
=
∫
X
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{X\times Y}f\,\mathrm {d} \lambda =\int _{Y}\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \nu (y)=\int _{X}\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} \nu (y)\mathrm {d} \mu (x)}
bewerken
Deze stelling van Tonelli gaat historisch vooraf aan de bovengenoemde stellingen. Voor deze stelling is de integreerbaarheid ten opzichte van de productmaat geen noodzakelijke voorwaarde. Het is voldoende dat voor de absolute waarde
|
f
|
{\displaystyle |f|}
Laat
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
∫
Y
∫
X
|
f
(
x
,
y
)
|
d
μ
(
x
)
d
ν
(
y
)
{\displaystyle \int _{Y}\int _{X}|f(x,y)|\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \nu (y)}
∫
X
∫
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
ν
(
y
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \int _{X}\int _{Y}|f(x,y)|\,\mathrm {d} \nu (y)\mathrm {d} \mu (x)}
bestaat, dan bestaat ook de andere, en is
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
∫
X
×
Y
f
d
λ
=
∫
Y
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
d
ν
(
y
)
=
∫
X
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{X\times Y}f\,\mathrm {d} \lambda =\int _{Y}\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \nu (y)=\int _{X}\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} \nu (y)\mathrm {d} \mu (x)}
![{\displaystyle f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf34123389016e4255e301be49d4ecdf2d2c638)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x:[c,d]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992e3544ae81499ba638c4fed23072189df7c0c9)
![{\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int \limits _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0804a83d0387501fd0ce005c1d3dceafc84549d1)
