Stochastisch proces

Een stochastisch proces is een opeenvolging van toevallige uitkomsten. In tegenstelling tot een deterministisch proces zijn de uitkomsten niet van tevoren bekend. Het stochastische proces wordt beschreven door een rij toevalstoestanden en hun bijbehorende simultane kansverdeling. Er is dus geen volledig causaal verband, er is geen sprake van sturing.

Deel van een serie artikelen over

Analyse van "Galton-Watson-model" aan de hand van wiskundige vergelijkingen.
Formules van een stochastisch proces
––– Kwantiteit –––

Complex getal · Geheel getal · Natuurlijk getal · Oneindigheid · Reëel getal · Rekenkunde


––– Structuur en ruimte –––

Algebra · Functie · Getaltheorie · Goniometrie · Groepentheorie Meetkunde · Topologie


––– Verandering –––

Analyse · Calculus · Chaostheorie · Differentiaalvergelijking ·
Dynamisch systeem · Vectoren


––– Toegepaste wiskunde –––

Discrete wiskunde · Grafentheorie · Informatietheorie · Kansrekening · Statistiek · Wiskundige fysica


Portaal Portaalicoon Wiskunde

De uitkomsten van een stochastisch proces worden ook wel de toestanden van het proces genoemd. De toestand van het proces in het punt (op het tijdstip) kan dan worden voorgesteld door de stochastische variabele of (niet noodzakelijk reëelwaardig). Daarin doorloopt een tijdsinterval, een ruimtelijke of eventueel een andere verzameling.

Voorbeelden zijn toevalsbewegingen, de brownse beweging en wachtrijen in de wachtrijtheorie. Verder worden schommelingen van de beurs en wisselkoersen soms gemodelleerd als stochastisch proces. Voorbeelden met een ruimtelijk domein zijn statische beelden, willekeurige topografieën (landschappen) en variaties in de samenstelling van niet-homogene materialen.

DefinitieBewerken

Een stochastisch proces is een collectie   van stochastische variabelen (niet noodzakelijk reëelwaardig, zie onder), waarin   een willekeurige verzameling is.

In elementaire toepassingen modelleert de indexverzameling   de tijd. Als we de tijd ervaren als een continue grootheid, dan kan   bijvoorbeeld de verzameling der reële getallen of de verzameling der niet-negatieve reële getallen zijn. Als de tijd een discrete grootheid is, dan is   de verzameling der gehele of natuurlijke getallen.

De verschillende stochastische variabelen   worden verondersteld te vertrekken in eenzelfde uitkomstenruimte  .

De meetbaarheid van de variabelen wordt meestal axiomatisch of zelfs impliciet aangenomen: men rust de uitkomstenruimte gewoon uit met een sigma-algebra die minstens de door de verschillende   voortgebrachte sigma-algebra's omvat.

Puur formeel hoeft er tussen de  's geen onderling verband te bestaan, maar de theorie wordt natuurlijk interessanter als dat wel het geval is.

Een stochastisch proces is stationair als een tijdverschuiving niet uitmaakt voor de simultane kansverdeling.[1]

Als het belang heeft, verschillende processen over eenzelfde tijdstippenverzameling   met elkaar te vergelijken, dan is het soms handig dat de kennis van de waarnemer tot en met het tijdstip   apart gemodelleerd wordt door een sigma-algebra  . De veronderstelling is dan dat   als   (er bestaan nog algemenere formuleringen als de tijdstippenverzameling niet van een orderelatie voorzien is). In ieder geval wordt verondersteld dat   meetbaar is ten opzichte van  .

VoorbeeldenBewerken

Uitgaande van de definitie is het gemakkelijk, pathologische voorbeelden te construeren. De volgende voorbeelden zijn niet-triviaal.

Stochastische wandelingBewerken

De stochastische wandeling modelleert de uitkomsten van het opgooien van een eerlijk muntstuk (50% kans kop, 50% kans munt), een oneindig aantal keren onafhankelijk van elkaar.

Zij   de verzameling der natuurlijke getallen.

Zij  , het oneindig cartesisch product met zichzelf van een verzameling van twee elementen. Anders gezegd: de verzameling der oneindige rijen van nullen en enen. We spreken af dat het getal 0 de uitkomst 'kop' en het getal 1 de uitkomst 'munt' modelleert.

Voor gegeven  , zij

 

de projectie-afbeelding op de  -de component van het cartesisch product.

Zij   de kleinste sigma-algebra op   die alle   meetbaar maakt. Deze wordt voortgebracht door verzamelingen van de vorm

 

Er bestaat een unieke kansmaat   op de meetbare ruimte   die aan elk van deze verzamelingen kans 0.5 toekent, en waarvoor de variabelen   allemaal onderling onafhankelijk zijn.

Brownse bewegingBewerken

De brownse beweging of het Wienerproces is een stochastisch proces met vele bijzondere eigenschappen. Het is in zekere zin de tegenhanger van de stochastische wandeling voor een continue tijdsparameter, dat wil zeggen  

Verwante begrippenBewerken

Inkomtijd: de grootste ondergrens van de verzameling tijdstippen   waarvoor   tot een gegeven verzameling reële getallen behoort. In het algemeen hangt de inkomtijd van een verzameling af van de uitkomstparameter  , en er zijn veronderstellingen nodig om te bewijzen dat de inkomtijd meetbaar (en dus een stochastische variabele) is. Analoog begrip: uitgangstijd.

Stoptijd: een afbeelding   (een toevallig tijdstip) met de eigenschap dat voor elk vast tijdstip   afzonderlijk, de kennis van het proces tot en met tijdstip   voldoende informatie geeft om te weten of het toevallige tijdstip   al bereikt is.

Bijzondere soorten processenBewerken

Martingaal: een stochastisch proces waarvan de voorwaardelijke verwachting van de toekomst ten opzichte van het heden, gelijk is aan het heden. Verwante begrippen ondermartingaal en bovenmartingaal.

Markovproces: een stochastisch proces waarvan de voorwaardelijke verwachting van de toekomst ten opzichte van het heden, gelijk is aan de voorwaardelijke verwachting van de toekomst ten opzichte van het heden en zijn hele voorgeschiedenis. Dit modelleert een systeem zonder extern geheugen, dat wil zeggen waarvan de toekomstkansen volledig kunnen worden ingeschat door meting van de huidige toestand.

Uitgebreide definitieBewerken

Vaak wordt toegelaten dat de stochastische veranderlijken   niet noodzakelijk reëelwaardig zijn, maar waarden aannemen in een algemenere meetbare ruimte   - bijvoorbeeld de  -dimensionale Euclidische ruimte  . Met name bij de studie van Markovprocessen kan het nuttig zijn, enige structuur toe te kennen aan het inwendig geheugen (de "toestand") van het proces.

Puur formeel is een stochastisch proces dan een geordend viertal

 

dat bestaat uit, achtereenvolgens:

  • een kansruimte;
  • een stijgende familie deel-sigma-algebra's;
  • een familie stochastische variabelen;
  • een meetbare ruimte die als toestandsruimte fungeert.

Duale interpretatieBewerken

De uitdrukking   hangt af van twee parameters: het tijdstip   en het toeval  . We kunnen een stochastisch proces dus naar wens op twee verschillende manieren interpreteren:

  1. als een familie stochastische variabelen, geïndexeerd door tijdstippen;
  2. als een toevallig gekozen functie van de tijd.

De tweede interpretatie geeft aanleiding tot verdere classificaties van stochastische processen, door te eisen dat de functie bijna zeker over bepaalde eigenschappen beschikt. Bijvoorbeeld:

  • als   voorzien is van een totale orderelatie, kunnen we nagaan of het proces bijna zeker stijgend is;
  • als   een topologische ruimte is (en de verzameling tijdstippen niet discreet), dan heeft het zin zich af te vragen of het proces bijna zeker continu is.