Hoofdmenu openen

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire transformatie een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf.

Inhoud

Eindigdimensionale gevalBewerken

Een lineaire transformatie wordt geheel vastgelegd door de beelden van een basisBewerken

Een lineaire transformatie   van een n-dimensionale vectorruimte   wordt vastgelegd door de beelden   van een geordende basis   van  . Een willekeurige vector   met coördinaten   ten opzichte van deze basis wordt immers afgebeeld op:

 .

Matrix van een lineaire transformatieBewerken

Door de keuze van een geordende basis   in   wordt de lineaire transformatie   geheel bepaald door de matrix   die als elementen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren heeft. Deze beelden worden bepaald door:

 ,

Voor het beeld   van   geldt dus:

 .

zodat:

 .

Dit komt neer op het matrixproduct van de kolomvector   van de coördinaten van   met de matrix  , met als resultaat de kolomvector   van de coördinaten van  :

 .

Uitgeschreven ziet dat er zo uit:

 ,

waarin  . De matrix   die de transformatie   representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.

VoorbeeldBewerken

De lineaire transformatie   van de vectorruimte   beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is   geheel vastgelegd. De matrix van   is dan

 .

Het beeld van bijvoorbeeld de vector   heeft dan de coördinaten:

 .

Dus is  .

Determinant, rang en nulruimteBewerken

Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. De determinant van de matrix van de transformatie is dan verschillend van 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn.

Als de transformatie niet inverteerbaar is, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren brengen dan een deelruimte voort van geringere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

Lineaire transformaties van het vlakBewerken

Lineaire transformaties van de  , kunnen beschreven worden door een 2×2-matrix  . Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van  , als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

De identiteitBewerken

Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.

 .

RotatieBewerken

Een rotatie van 90° tegen de klok in:

 

Een rotatie over een hoek   tegen de klok in:

 .

SpiegelingBewerken

Spiegeling om de x-as:

 .

SchalingBewerken

Een homothetie met factor 2:

 .

Een schaling met een factor   in de horizontale richting en een factor   in de verticale richting:

 .

AfschuivingBewerken

Horizontale afschuiving:

 .

SamendrukkingBewerken

Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken (met factor k > 1):

 .

ProjectieBewerken

Projectie op de y-as:

 

Bewerkingen met lineaire transformatiesBewerken

Som van twee lineaire transformatiesBewerken

Als   en   lineaire transformaties zijn van een vectorruimte  , is hun som  , die gedefinieerd is door

 ,

ook een lineaire transformatie van  .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van   is de matrix   van   gelijk aan de som   van de matrices   en   van respectievelijk   en  :

 .

Product van een lineaire transformatie met een reëel getalBewerken

Als   een lineaire transformatie is van een vectorruimte   en   een reëel getal, dan is het scalaire product  , dat gedefinieerd is door

 ,

ook een lineaire transformatie van  .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van   is de matrix   van   gelijk aan het scalaire product   van   en de matrix   van  :

 .

Samenstelling van lineaire transformatiesBewerken

Als   en   lineaire transformaties zijn van een vectorruimte  , dan hun samenstelling  , die gedefinieerd is door

 ,

ook een lineaire transformatie van  .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van   is de matrix   van   gelijk aan het matrixproduct   van de matrices   en   van respectievelijk   en  :

 .

Eigenwaarden en eigenvectoren van een lineaire transformatieBewerken

  Zie Eigenwaarde (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Onder de bijectieve transformaties van een lineaire ruimte   zijn er die een deelruimte   op zichzelf afbeelden. Als   eendimensionaal is, heet elke vector   een eigenvector van de transformatie. De eigenvector   wordt afgebeeld op een veelvoud   van  . De factor   heet eigenwaarde van de transformatie.

EigenschappenBewerken

  • De verzameling van de eigenvectoren van een lineaire transformatie   die behoren bij dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte  . Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde.
  • Als een lineaire transformatie bijectief is, is de inverse ook een lineaire transformatie.

Eindigdimensionale geval:

  • Als een lineaire transformatie van een  -dimensionale ruimte,   verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van  .
  • Als er in een vectorruimte een basis is bestaande uit eigenvectoren, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.

Lineaire permutatiesBewerken

Als een lineaire transformatie t van een vectorruimte V een basis van V transformeert in een basis van V, dan spreekt men van een lineaire permutatie van V. Onder invloed van t worden verschillende vectoren afgebeeld op verschillende vectoren en lineair onafhankelijke vectoren op lineair onafhankelijke vectoren.
De verzameling van alle lineaire permutaties van V vormen een groep, de algemene lineaire groep van een vectorruimte V. Gewoonlijk wordt die groep genoteerd als GL(V).

Eindigdimensionale geval:

De matrix A van een lineaire permutatie is regulier en de kern bestaat enkel uit de nulvector.