Lijnintegraal

De lijnintegraal over een scalairenveld f kan men zich voorstellen als de oppervlakte onder de kromme C, gelegen op een oppervlak z = f(x,y), dat beschreven wordt door het scalairenveld.

Een lijnintegraal is een van de generalisaties van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip voor meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit waarop een booglengte is gedefinieerd).

Om de lijnintegraal van de scalaire functie over de boog op de kromme te bepalen, wordt de boog opgedeeld in stukjes door de punten . Bij deze opdeling hoort een Riemannsom

,

waarin de lengte van de boog tussen de punten en is, en een punt op deze boog. Als in een bepaald limietproces bij voorgaande verfijning van de opdeling de Riemannsommen convergeren, noemt men de limiet de lijnintegraal

KringintegraalBewerken

Als de kromme   waarover geïntegreerd wordt, gesloten is, heeft het beginpunt geen invloed op de lijnintegraal. Men kan dus integreren over een vrije lus. Men spreekt dan van een kringintegraal of contourintegraal, genoteerd als:

 

ParametriseringBewerken

Als de boog   geparametriseerd is door de bijectie

 ,

waarin   en   vectoren in de ruimte   zijn waarvoor   en  , kan de lijnintegraal geschreven worden als:

 

Hierin is   de parameter waarmee het door   gedefinieerde traject in de ruimte   doorlopen wordt. De waarde van een scalaire lijnintegraal is afhankelijk van de functie   en van de boog   maar niet van de gebruikte paramterisatie om die boog te doorlopen, noch van de zin waarin die doorlopen wordt.

VoorbeeldBewerken

Is een rondgang van een schroeflijn langer dan een cirkel met dezelfde straal? We geven de schroeflijn voor   door:

 
 
 

De lengte   van de boog bij één rondgang (van   naar  ) is:

 
 ,

dus zo lang als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden de spoed   en de omtrek van een cirkel met straal  . De omtrek van een cirkel is dus kleiner dan deze weglengte, indien  .

Complexe lijnintegraalBewerken

In de complexe analyse kan het product   geïnterpreteerd worden als een vermenigvuldiging van complexe getallen. Het eerste belangrijke resultaat van de complexe analyse luidt als volgt

Integraaltheorema van CauchyBewerken

Als het domein van een complex differentieerbare, holomorfe functie enkelvoudig samenhangend is (dat wil zeggen “geen gaten heeft”), dan is de lijnintegraal van die functie tussen twee gegeven punten in het domein, onafhankelijk van de gekozen weg. Een voorbeeld is het gravitatieveld. Dit theorema kan als volgt worden geformuleerd:

 

Elke kringintegraal van zo'n functie is dus gelijk aan nul.