Hoofdmenu openen

De stelling van Green is een wiskundige stelling die een verband legt tussen een kringintegraal over een enkelvoudige gesloten curve in twee dimensies en een dubbelintegraal over het oppervlak dat door de curve omsloten wordt. De stelling, die in het bijzonder toepassing vindt in de natuurkunde, is een speciaal geval in twee dimensies van de stelling van Stokes.

De stelling is genoemd naar de Britse natuurkundige George Green

Inhoud

StellingBewerken

Als   en   continue functies zijn in een normaal gebied   dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue partiële afgeleiden   en  , en   wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten curve   (doorlopen in tegenwijzerzin)[1]), dan geldt:

 

BewijsBewerken

Hier volgt een bewijs voor het geval dat   een gebied is zoals in nevenstaande figuur is aangegeven, dus onder en boven begrensd door continue curven   en  , en links en rechts door rechte lijnen   en  .

Beschrijf het gebied door:

 

waarin   en   continue functies zijn. We berekenen:

   
 

Voor de integraal van   over   vinden we:

   
 

Uit deze twee resultaten volgt:

 

Op analoge wijze kan men voor   afleiden dat:

 

Uit deze laatste twee volgt de stelling.

OppervlakteBewerken

Met   en   en met   en   krijgen we voor de oppervlakte   binnen de contour   (doorlopen in de richting tegen de klok in):

 

Een interessante technische toepassing is de planimeter, een meetinstrument om een oppervlakte te bepalen door het aftasten van de omtrek.

Zie ookBewerken