Identieke afbeelding

In de wiskunde is een identieke afbeelding of identieke functie (ook identiteit of identiteitsfunctie genoemd) een afbeelding, meestal voorgesteld door $I,$ van een verzameling naar zichzelf die elk element op zichzelf afbeeldt. De identieke functie is een functie die eigenlijk geen effect heeft. Hij geeft altijd dezelfde waarde terug die als argument is gebruikt.

Definitie

De identieke afbeelding op de verzameling $V$ is de functie $I:V\to V$ gedefinieerd voor elke $x\in V$ door:

$I(x)=x$.

Om verwarring met de identieke afbeelding op een andere verzameling te voorkomen noteert men ook $I_{V}.$ Andere notaties voor de identieke afbeelding zijn $\mathrm {Id}$ of $\mathrm {Id} _{V}.$

Algebraïsche eigenschappen

Voor een willekeurige afbeelding $f\colon V\to W$, geldt:

$f\circ I_{V}=f=I_{W}\circ f$

Daarin staat $\circ$ voor functiecompositie.

De identieke afbeelding $I_{V}$ is dus het neutrale element van de monoïde van alle functies van $V$ naar $W$.

Aangezien het identiteitselement van een monoïde uniek is, is het ook mogelijk de identiteitsfunctie op $V$ te definiëren als dit neutrale element. Zo'n definitie generaliseert het concept van een identiteitsmorfisme in categorietheorie waarin de endomorfismen van $V$ niet functies hoeven zijn.

Voorbeeld

In een $n$-dimensionale vectorruimte wordt voor elke coördinatisering de identieke afbeelding voorgesteld door de eenheidsmatrix $I_{n}.$