Partiële functie

In de wiskunde wordt een functie die op een deel van een verzameling $X$ gedefinieerd is, een partiële functie op $X$ genoemd. Een partiële functie is niet noodzakelijk voor alle elementen van $X$ gedefinieerd.

Zo is het omgekeerde $1/x$ van een getal $x$ niet gedefinieerd voor 0 en dus niet voor alle gehele getallen, en daarom slechts een partiële functie op alle gehele getallen.

Definitie

Een partiële functie $f$ is een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen $X$ en $Y$ die geen element van $X$ in verband brengt met meer dan één element van $Y$ . Er kunnen dus elementen in $X$ zijn die niet door $f$ toegevoegd worden aan een element van $Y$ .

Om aan te geven dat $f$ een partiële functie is, dus niet noodzakelijk op de hele verzameling $X$ is gedefinieerd, wordt $f$ genoteerd als:

f\colon X\rightharpoonup Y

of alternatief als

f\colon X\rightsquigarrow Y

f\colon \subseteq X\to Y

f\colon X\to _{p}Y

f\colon X\rightarrowtail Y

De deelverzameling $D\subseteq X$ van elementen die in relatie staan met een element van $Y$ , wordt het domein van $f$ genoemd en de verzameling $Y$ het codomein. De verzameling $X$ wordt wel aangeduid als bron(verzameling) en $Y$ in dat verband als doel(verzameling). Als het domein $D$ gelijk is aan $X$ , zodat elk element van $X$ geassocieerd is met precies één element uit het codomein, spreekt men eenvoudigweg van een functie of eventueel van een totale functie.

Voorbeelden

de partiële functie $g\colon \mathbb {Z} \rightsquigarrow \mathbb {Z}$ op de gehele getallen gegeven door:

g(n)={\sqrt {n}}

g

is niet voor alle gehele

n

gedefinieerd, maar alleen voor kwadraten.

Zij $R$ de verzameling van alle oneindige rijen in $\mathbb {R}$ en $g\colon R\rightharpoonup \mathbb {R}$ de tweeplaatsige relatie die aan een convergente rij de limiet toevoegt. $g$ is een partiële functie op $R$ , omdat niet alle oneindige rijen convergeren.