Partiële functie

In de wiskunde wordt een functie die op een deel van een verzameling gedefinieerd is, een partiële functie op genoemd. Een partiële functie is niet noodzakelijk voor alle elementen van gedefinieerd.

Partiële functie die geen totale functie is
Partiële functie die wel een totale functie is

Zo is het omgekeerde van een getal niet gedefinieerd voor 0 en dus niet voor alle gehele getallen, en daarom slechts een partiële functie op alle gehele getallen.

DefinitieBewerken

Een partiële functie   is een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen   en   die geen element van   in verband brengt met meer dan één element van  . Er kunnen dus elementen in   zijn die niet door   toegevoegd worden aan een element van  .

Om aan te geven dat   een partiële functie is, dus niet noodzakelijk op de hele verzameling   is gedefinieerd, wordt   genoteerd als:

 

of alternatief als

 
 
 
 

De deelverzameling   van elementen die in relatie staan met een element van  , wordt het domein van   genoemd en de verzameling   het codomein. De verzameling   wordt wel aangeduid als bron(verzameling) en   in dat verband als doel(verzameling). Als het domein   gelijk is aan  , zodat elk element van   geassocieerd is met precies één element uit het codomein, spreekt men eenvoudigweg van een functie of eventueel van een totale functie.

VoorbeeldenBewerken

  • de partiële functie   op de gehele getallen gegeven door:
 
  is niet voor alle gehele   gedefinieerd, maar alleen voor kwadraten.
  • Zij   de verzameling van alle oneindige rijen in   en   de tweeplaatsige relatie die aan een convergente rij de limiet toevoegt.   is een partiële functie op  , omdat niet alle oneindige rijen convergeren.