Hoofdmenu openen

Een complexe functie is een complexwaardige functie van een complexe variabele, dus een functie

waarvan het definitiegebied een deelverzameling is van de complexe getallen . Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd:

,

waarin en reëelwaardige functies zijn van twee reële variabelen. De theorie van complexe functies wordt functietheorie genoemd.

Inhoud

AfgeleideBewerken

Als voor   de limiet

 ,

bestaat, heet de complexe functie   differentieerbaar in   en wordt de limiet aangeduid als de afgeleide van   in   en aangegeven door:

 .

Holomorfe functieBewerken

Een holomorfe functie is een functie die op een open deelverzameling van het complexe vlak C is gedefinieerd met waarden in C en die op ieder punt in dit complexe vlak kan worden gedifferentieerd. Zo'n functie wordt ook wel analytisch genoemd. In de reële analyse wordt die term gebruikt om oneindig vaak differentieerbare functies aan te duiden die kunnen worden uitgedrukt als een machtreeks. De benaming analytisch is voor complex differentieerbare functies gerechtvaardigd, omdat complexe functies die eenmaal differentieerbaar zijn, automatisch oneindig vaak differentieerbaar zijn en dus ontwikkelbaar in machtreeksen. Dit is dus een groot verschil tussen de complexe analyse en de reële analyse.

Meromorfe functieBewerken

  Zie Meromorfe functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Soms is een functie niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van geïsoleerde punten na. Men noemt zo'n functie een meromorfe functie. De term is afkomstig uit het Grieks, van μέρος (meros) dat deel betekent als tegengesteld tot ὅλος (holos) geheel. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een ophefbare singulariteit of een pool.

De Cauchy-Riemann-vergelijkingenBewerken

Als de complexe functie   differentieerbaar is in het punt   en we schrijven voor  :

 ,

geldt voor de afgeleide

 .

De afgeleide kan dus worden uitgedrukt in de partiële afgeleiden van   en   in het punt  . In dat punt voldoet   dus aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

 
 

Omgekeerd geldt dat een functie   die op zijn gehele domein aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen voldoet en waarvan de partiële afgeleiden continu zijn, holomorf is.

Bekende stellingen uit de reële analyseBewerken

De meeste stellingen uit de reële analyse gelden ook in de complexe analyse. We formuleren er een aantal.

KettingregelBewerken

Zij   en   beide holomorfe functies. Dan is de samenstelling   ook holomorf en voor de afgeleide geldt:

 

Inverse functiesBewerken

Zij   een complexe functie, en   de inverse functie van f, dus zodat

  voor alle  .

Als er geldt dat   differentieerbaar is in   en  , dan bestaat de afgeleide van   in het punt   en wordt gegeven door:

 

Belangrijke complexe functiesBewerken

De exponentiële functieBewerken

De exponentiële functie wordt met behulp van de formule van Euler gegeven:

 

Ook voor de complexe exponentiële functie gelden de bekende eigenschappen. Voor   is:

 

en

 

De logaritmeBewerken

De exponentiële functie   is alleen een injectie wanneer de waarden van   zijn beperkt tot een halfopen interval ter lengte  . Nu kunnen we de logaritme definiëren:

 

Hierbij kiezen we het argument als volgt:

 

De logaritme is gedefinieerd is op  .

Kiest men de waarde  , dan krijgt men de hoofdwaarde van de logaritme, die ook in de meeste gevallen wordt gebruikt. Voor de complexe logaritme gelden de gebruikelijke stellingen

 
 
 
 

Hierbij zijn   en   complexe getallen.

MachtenBewerken

Met behulp van de logaritme en de exponentiële functie kunnen machten worden gedefinieerd. Als   en   complexe getallen, zijn definiëren we

 

Met deze definitie kunnen we ook de afgeleide bepalen van een macht:

 

Goniometrische en hyperbolische functiesBewerken

De sinus en cosinus kunnen ook met complexe e-machten gedefinieerd worden. Voor complexe getallen   is

 
 
 
 


Hieruit volgt gemakkelijk dat:

 
 
 
 

en

 
 

De gebruikelijke relaties zijn ook geldig in de complexe analyse:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hier zijn   en   complexe getallen.

Verder kunnen de goniometrische functies omgezet worden in hyperbolische en vice versa.

 
 

MachtreeksenBewerken

Hogere afgeleidenBewerken

Zoals eerder opgemerkt is, als   een holomorfe functie is op   en   een punt is in   dan is   oneindig vaak differentieerbaar in  . Verder geldt de volgende gelijkheid voor hogere afgeleides:

 

Daarin is   een gesloten kromme.

Machtreeksen en convergentiestralenBewerken

Als   een rij is van complexe getallen en   een complex getal is, wordt

 

een machtreeks genoemd om  . De machtreeks convergeert in   als

 

convergeert.

De convergentiestraal   van de machtreeks is gedefinieerd als:

 

Hierbij mag   ook de waarde oneindig aannemen.

Voor de convergentiestraal   geldt:

 

Als   eindig is, definieert men de convergentiecirkel van de machtreeks als de cirkel met middelpunt   en straal  .

Het blijkt dat de machtreeks convergeert voor elke   binnen de convergentiecirkel, en divergeert voor elke   erbuiten. Het convergentiegebied omvat dus de open cirkelschijf, en is bevat in de gesloten cirkelschijf. Voor   op de convergentiecirkel is het per geval verschillend. Als   oneindig is dan convergeert de machtreeks voor elke  .

TaylorreeksenBewerken

Elke holomorfe functie valt te schrijven als een machtreeks. Als

 

een machtreeks met convergentiestraal  , dan liggen de coëfficiënten   vast en wel door:

 

Hierbij is   een pad geparametriseerd door de functie   met  .

Voorbeelden van taylorreeksen zijn:

 
 
 

Bij deze drie reeksen is de convergentiestraal oneindig.

Ook de meetkundige reeks heeft een complex analogon, waarbij de convergentiestraal net als in het reële geval gelijk is aan 1.

 

De logaritme heeft ook een machtreeks, maar ontwikkeld om het punt 1. De convergentiestraal is 1.

 

IntegrerenBewerken

PadenBewerken

Een pad of een boog   is een deelverzameling van de complexe getallen, zodat  , waarbij   een complexe functie is:   met   en   reële functies. De functie   wordt de parametrizering van   genoemd. Als   continue afgeleiden heeft in  , heet   een gladde boog of kortweg glad.

Een voorbeeld van een gladde boog is de verzameling die voortgebracht wordt door de parametrizering   met   Dit is de eenheidscirkel in het complexe vlak, de cirkel met straal 1 om middelpunt 0.   is hier dus een gesloten pad.

IntegrerenBewerken

Zij   een parametrizering van een gladde boog   en zij   een complexe functie waarvoor  . De complexe integraal is gedefinierd door:

 

Hierbij kan   geschreven worden, zodat we overhouden

 

Als   een gesloten pad is, schrijft men ook wel

 

om aan te geven dat over een kring geïntegreerd wordt.

In veel gevallen is het mogelijk voor   verschillende parametrizeringen te vinden. Zolang de eindpunten van equivalente parametrizeringen niet verschillen, levert het altijd dezelfde waarde op voor de integraal.

VoorbeeldBewerken

Neem het gesloten pad gedefinieerd door de parametrizering   met   en   een geheel getal. Dan is

 

Als   volgt

 

Anders is

 

omdat de exponentiële functie een periodieke functie is.

PrimitievenBewerken

In de reële analyse hebben veel functies een primitieve. Ook in de complexe functietheorie komen primitieven voor.

DefinitieBewerken

Zij   een continue complexe functie. Een holomorfe functie

 

wordt een primitieve van   genoemd, als voor elk complex getal   geldt dat  .

Hoofdstelling van de integraalrekeningBewerken

  Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Met primitieven kunnen we de complexe versie van de hoofdstelling van de integraalrekening formuleren: Zij   een gladde kromme in   met beginpunt   en eindpunt  . Als   een primitieve is van   op  , geldt

 

Primitieven, paden en kringintegralenBewerken

Het blijkt dat het hebben van een primitieve een prettige eigenschap is. De volgende uitspraken zijn equivalent:

1)   heeft een primitieve. 2) Integralen zijn onafhankelijk van het pad, zolang de begin- en eindpunten hetzelfde zijn (let op, dit is dus sterker dan dat de parametrisering van een pad niets uitmaakt!) Dus als   en   twee paden zijn met dezelfde begin- en eindpunten geldt er

 

3) Kringintegralen zijn gelijk aan 0. Dus als   een gesloten pad is, geldt er

 

Oneigenlijke integralenBewerken

Met complexe functietheorie kan in sommige gevallen een 'bepaalde integraal', die in de reële analyse niet of nauwelijks berekend kan worden, door uitbreiding naar het complexe vlak vrij eenvoudig berekend worden. Een bekend voorbeeld is  .

Een tweede voorbeeld is de stelling van Liouville: holomorfe functies met een begrensd bereik zijn constant. Dit geldt overduidelijk niet in de reële analyse. Zo is de sinus als functie van een reëel getal oneindig vaak differentieerbaar en bovendien begrensd, maar niet constant. De complexe versie is weliswaar oneindig vaak differentieerbaar, maar niet begrensd! Met deze laatste stelling kan de hoofdstelling van de algebra worden bewezen.